PCA: Zusammenhang Kovarianzmatrix, Eigenwerte/vektoren

21.04.2020, 13:34	te one	Auf diesen Beitrag antworten »
PCA: Zusammenhang Kovarianzmatrix, Eigenwerte/vektoren [ Sorry, unten hat es etwas Latex verschoben. Bekomme es aber nicht hin, dass es korrekt angezeigt wird... ] Ich habe ein Verständnisproblem. Im Großen gehört das zur Principal Component Analyse. Gegeben sei ein Matrix X und deren Kovarianzmatrix Q. $\begin{eqnarray} X = \begin{bmatrix}<br /> x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\<br /> x_{2,1} & \cdots & x_{1,m} \\<br /> \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> x_{n,1} & \cdots & x_{n,m}<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q =X X^\intercal \end{eqnarray}$ Nun möchte ich Eigenwerte/Eigenvektoren finden und habe die Gleichungen $\begin{eqnarray} \lambda_i e_i = Q e_i<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Q - \lambda_i I) e_i = 0<br /> \end{eqnarray}$ für Eigenwerte lamdba, Eigenvektoren e und die Identitätsmatrix I gefunden. Meine Frage: Ich kannte diese Gleichungen bisher immer nur so, dass man sagte, dass lambda ein Eigenwert ist, wenn die Gleichungen für beliebige Vektoren ungleich 0 gelten. Nun ist es dort aber nur für Eigenvektoren aufgeschrieben. Wo ist da der Sinn? Hat das damit zu tun, dass wir die Kovarianzmatrix betrachten? Und warum rechne ich $\begin{eqnarray} \lambda_i I \end{eqnarray}$ (ergibt eine Matrix) und multipliziere dann mit $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ ? Später wird $\begin{eqnarray} det (Q - \lambda I) \end{eqnarray}$ null gesetzt.

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