Exponentialreihe mit Lücken - expliziter Ausdruck gesucht

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialreihe mit Lücken - expliziter Ausdruck gesucht
Hier mal ein kleiner Witz aus dem Bereich der Analysis.

Man gebe für den "cosinus leopoldicus"



einen expliziten Ausdruck in klassischen elementaren analytischen Funktionen an, Lösungsweg inbegriffen. Die Besselfunktion siebenkommaneunter Art gehört da zum Beispiel nicht dazu.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe mit Lücken - expliziter Ausdruck gesucht
Man bekommt



Die Lösung dieser linearen inhomogenen DGL 2. Ordnung mit den Anfangsbedingungen



ergibt

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab so ein Déjà-vu, dass ich die Lösung dieses Problems im allgemeineren Kontext für und schon mal gepostet hatte - ich weiß aber nicht mehr, ob hier oder auf onlinemathe...



Ok, das lief so ab: Für eine feste positive ganze Zahl sei und wir betrachten

für ,

sofern wir definieren. D.h., es ist



mit . Diese Matrix (das ist eine spezielle Vandermonde-Matrix, die hat wohl auch einen eigenen Namen, der mir entfallen ist) besitzt eine sehr einfache Inverse, nämlich . Damit ist



berechenbar.


Im Fall führt das wg. über

zu .

Also mit ziemlich viel Mehraufwand dasselbe Resultat wie Huggy. smile


Für mit sind die Terme (wenig überraschend) etwas einfacher:



das ist einzeln aufgedrösellt




.




P.S.: Darf ich jetzt die Funktionenklasse nach HAL 9000 benennen? Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
P.S.: Darf ich jetzt die Funktionenklasse nach HAL 9000 benennen? Big Laugh


Ach was, HAL! Funktionenklassen! Was ist das schon! Einen Operator braucht's, den HALschen Operator! Für eine in einer Umgebung von 0 analytische Funktion definieren wir durch



und beweisen gleich für die wunderschöne Formel



Mit dieser Formel habe ich sozusagen die Aufgabe gelöst, natürlich ohne Kenntnis des Operators, aber gleich für beliebiges analytisches . Jetzt können wir uns wie Leibniz und Newton oder Drosten und Kekulé streiten: Wer hat's erfunden? (Wir wissen natürlich alle: Die Schweizer war'n 's.)

Oder wir schließen einen Kompromiß und definieren einen weiteren Operator, den Leopold-Operator , der für obiges Folgendes festlegt:



und gewinnen daraus das HAL-Leopold-Lemma, in der Fachsprache auch HLL abgekürzt:



(Ich glaube, wenn der Finn_ das sieht, wird er wahnsinnig.)

Die Sache mit dem "Lemma" ist ja ein alter Trick. Ein Lemma ist ja meist ein Sätzchen, das irgendwie ein Nebenprodukt eines größeren Theorems ist. Wir drücken damit unsere Bescheidenheit aus. In Wahrheit kokettieren wir aber damit, weil wir ja beide tatsächlich völlig unbescheiden sind. Warum sollen wir es anders als der zornige Herr machen?

Ab nächstem Semester könnten dann Vorlesungen über HAL-Leopold-Operatoren an deutschen Universitäten gehalten werden: Wir kommutieren, integrieren und pervertieren die miteinander. Semidirekte Produkte, Tensorieren, HALuzinieren und was sonst noch machen wir mit denen … Elvis findet sicher auch noch eine Galois-Gruppe dazu, über beliebigen Körpern der Charakteristik 6.

@ Huggy: Du kommst jetzt etwas schlecht bei der Sache weg. In unserem großen Lehrwerk, das demnächst erscheinen wird, werden wir dich im Vorwort erwähnen unter all denen, denen wir zu tiefem Dank verpflichtet sind: unserer Sekretärin, HALs Hund, meinem Kanarienvogel und Schrödingers Katze. Da bist du dann auch dabei.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ Huggy: Du kommst jetzt etwas schlecht bei der Sache weg. In unserem großen Lehrwerk, das demnächst erscheinen wird, werden wir dich im Vorwort erwähnen unter all denen, denen wir zu tiefem Dank verpflichtet sind: unserer Sekretärin, HALs Hund, meinem Kanarienvogel und Schrödingers Katze. Da bist du dann auch dabei.

Zu viel der Ehre! Ich kann nicht tippen, nur mäßig bellen, nicht zwitschern und trillieren und tue mich auch schwer damit, gleichzeitig tot und lebendig zu sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
das ist eine spezielle Vandermonde-Matrix, die hat wohl auch einen eigenen Namen, der mir entfallen ist

Hat sich nun auch erledigt: https://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix

Bei der Verwandtschaft zur DFT hätte mir das auch eher einfallen können. Finger1


Eine letzte Frage noch:

Zitat:
Original von Leopold
Wir kommutieren, integrieren und pervertieren die miteinander. Semidirekte Produkte, Tensorieren, HALuzinieren und was sonst noch machen wir mit denen

Was wirfst du ein? Oder ist das der typische Wahn eines Lehrers im Corona-Entzug? Teufel
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Huggy

Dein Ansatz mit der Differentialgleichung hat im speziellen Fall funktioniert. Aber kann man auch eine Differentialgleichung in anderen Fällen aufstellen? Nehmen wir als Beispiel







(Ich habe das gerade geschrieben, da geht mir durch den Kopf, daß sich beim Ableiten mit aus der Fakultät beim Binomialkoeffizienten kürzt. Könnte also klappen, wenn man Faktoren aus dem Zähler vorzieht.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ Huggy

Dein Ansatz mit der Differentialgleichung hat im speziellen Fall funktioniert. Aber kann man auch eine Differentialgleichung in anderen Fällen aufstellen?

Mit den allgemeineren Fällen habe ich mich nicht befasst. Die wurden ja erst später hinzugefügt. Der Wortlaut der ursprünglichen Aufgabe und speziell

Zitat:
Original von Leopold
Hier mal ein kleiner Witz aus dem Bereich der Analysis.

haben mich nicht vermuten lassen, dass ein allgemeineres Problem behandelt werden sollte.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Als jemand ohne eigene Lösung möchte ich nur die Eleganz von Huggys Ansatz loben Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Huggy

Dein letzter Beitrag klingt ein wenig so, als hättest du meinen vorigen Beitrag als Kritik an deiner Lösung aufgefaßt. So war das eindeutig nicht gemeint. Ich bitte um Entschuldigung, wenn das so herüberkam. Und du hast natürlich recht, daß die Aufgabe nur für eine spezielle Funktion konkret gestellt und kein allgemeines Verfahren gesucht war. Aber nachdem HAL sein allgemeines Verfahren vorgestellt hat und ich mich auch schon allgmeiner damit beschäftigt hatte, hat sich der Horizont der Aufgabe sozusagen erweitert. Es wäre ja schon interessant, ob sich der Differentialgleichungsansatz auch auf das allgemeinere Problem übertragen läßt. Es würde ja reichen, erst einmal den Fall der arithmetischen Progression zu betrachten. Aber du brauchst dich weder aufgefordert noch gar gedrängt fühlen, hier irgendetwas nachzureichen. Jeder entscheidet hier selber, ob und wie er sich einbringen will und ob und wann er Zeit hat, sich einer Sache zu widmen. Ich finde es nur spannend, wie oft ganz verschiedene Zugänge zur Lösung führen. Der eine nutzt Methoden der Linearen Algebra, der andere die Theorie der Differentialgleichungen. Und wieder andere haben wieder andere Ideen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ Huggy: Du kommst jetzt etwas schlecht bei der Sache weg. In unserem großen Lehrwerk, das demnächst erscheinen wird, werden wir dich im Vorwort erwähnen unter all denen, denen wir zu tiefem Dank verpflichtet sind: unserer Sekretärin, HALs Hund, meinem Kanarienvogel und Schrödingers Katze. Da bist du dann auch dabei.

Hallo Leopold,

gibt es das Buch wirklich, oder war das nur ein Scherz? Wenn doch - wie heißt der Titel? Respekt

Im Übrigen löst dein die Dgl: . und müßte außerdem heißen, in Analogie zum und zumal



die DGL löst und



die DGL löst.
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