Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Hey Leute Wink

Ausgehend von einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion ist Folgendes in verschiedenen Quellen zu finden: Wenn die Determinante der Hessematrix=0 ist und einer der Einträge oder positiv ist, dann handelt es sich um eine positiv semi definite Hessematrix. Und eine Hessematrix ist ja genau dann positiv semi definit, wenn die Funktion konvex ist.

Jetzt wirds spannend
Angenommen wir haben einen kritischer Punkt , also ein Punkt in dem der Gradient verschwindet. Wenn man den in die Hessematrix einsetzt und die jetzt, wie oben beschrieben, positiv semi definit ist, dann handelt es sich um ein Minimum oder einen Sattelpunkt.

Meine Frage
Nur kann ich mir nicht erklären, wie denn die Funktion in dem Punkt einen Sattelpunkt haben und gleichzeitig konvex sein kann? Ich dachte "Sattelpunkt" bedeutet immer "indefinit", also dass es dort keine Krümmung gibt. Könnt ihr mir ein Beispiel einer Funktion nennen, die in einem Sattelpunkt konvex ist und wie man sich das vorstellen kann?

Vielen Dank schon mal wieder für unseren kreativen Austausch, ich hoffe ich konnte das Problem anschaulich beschreiben smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Zitat:
Original von MasterWizz
Wenn man den in die Hessematrix einsetzt und die jetzt, wie oben beschrieben, positiv semi definit ist, dann handelt es sich um ein Minimum oder einen Sattelpunkt.

Nein!!! unglücklich
Dann kann es sich um keinen Sattelpunkt handeln. Denn für einen Sattelpunkt muss neben



Die Hessemantrix indefinit sein.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunk...ber_Ableitungen

Es dürfte problematisch sein, eine Hessematrix zu finden die zugleich semidefinit und indefint ist. Big Laugh
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Das hab ich ja auch immer gedacht, aber jetzt bin ich verwirrt xD
Iich hab die ganze Zeit weiter recherchiert und in einem meiner Bücher bin ich auf dieses Beispiel gestoßen:

Die Funktion hat als Hessematrix . Die Determinante der Hessematrix lautet .

Fall 1: x>0 Hessematrix indefinit (keine Krümmung)
Fall 2: x<0 Hessematrix positiv definit (konvex)
Fall 3: x=0 Hessematrix positiv semi definit (konvex)

Der einzige kritische Punkt ist und der ist ein Sattelpunkt (erkennt man an ). Also ein Sattelpunkt trotz positiver semi Definitheit. Und das verwirrt mich irgendwie Hammer
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Zitat:
Original von MasterWizz
Der einzige kritische Punkt ist und der ist ein Sattelpunkt (erkennt man an ). Also ein Sattelpunkt trotz positiver semi Definitheit.

Wieso erkennt man das daran?
Das ist kein Sattelpunkt! Es ist doch auch . Als Funktion von liegt also ein Minimum vor.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Naja die Funktion nimmt ja in einer Umgebung des kritischen Punktes sowohl positive, als auch negative Funktionswerte an. Es ist damit weder ein Minimum, noch ein Maximum. Und wegen der waagerechten Tangentialebene muss es demzufolge ein Sattelpunkt sein. Dieses Beispiel hab ich aus Peter Furlan (2012): "Das Gelbe Rechenbuch 2", Seite 99. Der Author bezeichnet den Punkt als Sattelpunkt, obwohl es wahrscheinlich auch auf die Definition eines Sattelpunktes ankommt.

Edit: Würde man einen Sattelpunkt so definieren, dass das hier keiner ist, müsste man allgemein sagen, dass ein kritischer Punkt jetzt 4 Optionen hat: Min, Max, SP, nichts davon. Darum denke ich mal ist es sinnvoll einen Sattelpunkt so zu definieren, dass auch in diesem Beispiel einer vorliegt. Was uns aber zur ursprünglichen Frage zurückführt, wie ein konvex gekrümmte Funktion einen Sattelpunkt haben kann. Das klingt erst mal unlogisch.

Edit2:
Huggy, ich glaub ich hab den Widerspruch gefunden! Die Aussage, dass eine Funktion genau dann konvex ist, wenn ihre Hessematrix positiv semi definit ist, gilt nur für OFFENE Teilmengen des Definitionsbereichs. Wenn man den Randpunkt mit einbezieht, ist es ja keine offene Menge mehr. Damit haben wir in dem kritischen Punkt einen Sattelpunkt trotz semi Definitheit, aber keine konvexe Krümmung. Kannst du das bitte noch bestätigen? Sonst fühl ich mich sehr unsicher mit der Ausführung.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Zitat:
Original von MasterWizz
Der Author bezeichnet den Punkt als Sattelpunkt, obwohl es wahrscheinlich auch auf die Definition eines Sattelpunktes ankommt.

Es kommt immer auf die Definition an! Wenn man aus unterschiedlichen Definitionen mal den einen Teil, mal den anderen Teil nimmt, ist es kein Wunder, dass Inkonsistenzen entstehen. Die üblichere Definition dürfte die aus der Wikipedia sein. Wenn man sich ausschließlich auf deren Definition von konkav, konvex, Sattelpunkt bezieht, entstehen keine Widersprüche.
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Ja genau, laut wikipedia brauchen wir eine offene Umgebung, in der es kleinere und größere Funktionswerte gibt. Das ist in dem Beispiel ja erfüllt und darum ist es ein Sattelpunkt. Und trotzdem ist die Hessematrix in diesem Punkt positiv semi definit und gleichzeitig nicht konvex.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Mir ist nicht klar, wie du da aus der Wikipedia einen Widerspruch herausliest. Im Abschnitt

Spezifikation über Ableitungen

ist die Indefinitheit der Hessematrix als Bedingung angegeben. Die ist nicht gegeben. Im Abschnitt

Spezifikation direkt über die Funktion

wird im ersten Satz vorausgesetzt, dass die 2. Ableitung in keiner Richtung verschwindet. Das ist aber hier in x-Richtung nicht gegeben.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Moment, im Abschnitt "Spezifikation über Ableitungen" steht nicht "genau dann wenn". Wenn die Hessematrix (im kritischen Punkt) indefinit ist, haben wir einen Sattelpunkt. Aber nur weil wir einen Sattelpunkt haben, muss die Hessematrix dort nicht indefinit sein. Das deckt sich mit der Definition aus meiner Quelle.

Und im Abschnitt "Spezifikation direkt über die Funktion" wird auch nur eine Aussage über den Fall gemacht, dass die Hessematrix regulär ist. Das heißt nicht, dass wir auch bei singulären Hessematrizen einen Sattelpunkt haben können.

Ich will damit sagen, dass es keinen Widerspruch gibt. Alle Puzzleteile fügen sich zusammen und alle Quellen stimmen überein. Hab auch noch mal geschaut, hier im Buch wird ein Sattelpunkt genauso definiert. Wir haben ein Beispiel gefunden, bei dem ein Sattelpunkt vorliegt, die Hessematrix positiv semidefinit ist und die Funktion in dem Punkt trotzdem nicht konvex ist.

Ist doch eine super Fazit, oder? smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Zitat:
Original von MasterWizz
Moment, im Abschnitt "Spezifikation über Ableitungen" steht nicht "genau dann wenn".

Da hast du Recht

Zitat:
Ich will damit sagen, dass es keinen Widerspruch gibt.

Okay.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sattelpunkt trotz konvexer Krümmung?
Vielen Dank für die konstruktive Diskussion. Allein fällt es mir immer schwer solche Zusammenhänge zu sehen. Aber danke dir hab ich jedes mal das Gefühl wirklich was verstanden zu haben. Du machst hier eine super Arbeit, vielen Dank! smile
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