Beweis von Vollständigkeit im C^1

22.04.2020, 15:45	fluss	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Vollständigkeit im C^1 Hallo, liebe Community! Ich habe eine Aufgabe, zu der mir kein wasserdichter Lösungsweg einfällt. Es folgt erstmal die Aufgabenstellung. ---------------------------------------------- Wir betrachten den Raum $\begin{eqnarray} \mathcal{C}^1=\mathcal{C}^1([-1,1]) \end{eqnarray}$ aller stetig differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray} f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . (a) Ist $\begin{eqnarray} \mathcal{C}^1 \end{eqnarray}$ mit der Supremumsnorm $\begin{eqnarray} \|\|\cdot\|\|_\infty \end{eqnarray}$ vollständig? (b) Eine weitere Norm auf $\begin{eqnarray} \mathcal{C}^1 \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_\star=\|\|f\|\|_\infty+\|\|f'\|\|_\infty \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} \mathcal{C}^1 \end{eqnarray}$ mit dieser Norm vollständig? ---------------------------------------------- Überlegungen (a) Sei $\begin{eqnarray} (f_n)\subseteq\mathcal{C}^1 \end{eqnarray}$ eine beliebige Cauchyfolge. Dieses Folge ist gleichmäßig konvergent gegen ein stetiges $\begin{eqnarray} f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (f'_n)\subseteq C[-1,1] \end{eqnarray}$ die Folge der stetigen Ableitungen. Meine Frage: Überträgt sich die Cauchyfolgen-Eingenschaft auf die Ableitungen? (b) Ich vermute, dass ich hierzu Erkenntnisse aus (a) benötige. Über Ungleichungen könnte man das wohl irgendwie sehen, aber wo ich anfangen muss, ist mir ein Rätsel. Vielen lieben Dank für alle Antworten PS: Ich habe vor den angehängten Satz einzusetzen.
23.04.2020, 21:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Vollständigkeit im C^1 (a) der Raum ist nicht vollständig. Eine Möglichkeit, das zu sehen, ist der Approximationssatz von Weierstraß Edit: und hier haben wir jetzt noch ein schönes Beispiel

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