DGL 1.Ordnung berechnen

22.04.2020, 21:21

Mathman91

DGL 1.Ordnung berechnen

Hallo zusammen,

ich berechne gerade ein Beispiel mit dem newtonschen Abkühlungsgesetz.
Ich soll die abkühlung eines Getränkes in einer bestimmten Zeit berechnen.

Als erstes Löse ich einmal die DGL 1.Ordnung:

Die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = -k*(y(t)-m) \end{eqnarray*}$

Schritt 1: Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} y' = -k*y+k*m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) = -k \end{eqnarray*}$ (homogen)
$\begin{eqnarray*} g(t) = k*m \end{eqnarray*}$ (inhomogen)

Nun integriere ich die einzelnen Funktionen:

$\begin{eqnarray*} y_{h} = C*e^{\int \! f(t) \, dt } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = C*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p}=C*e^{-k*t}*\int\! \frac{k*m}{C*e^{-k*t}}\, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = k*e^{-k*t}*\int \! m*e^{k*t} \, dt \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die partielle Integration anwenden:

$\begin{eqnarray*} u = m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u' = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = e^{k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*e^{-k*t}*\int \! 1*e^{k*t} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k*e^{-k*t}*\int \! e^{k*t} \, dt \end{eqnarray*}$

Als nächstes wende ich die Integration mit Substitution an:

$\begin{eqnarray*} e^{k*t} \end{eqnarray*}$ ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{e^{k*t}}{k} \end{eqnarray*}$

Also haben ich nun:

$\begin{eqnarray*} k*e^{-k*t}*m*e^{k*t}-\frac{e^{k*t}}{k} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich die homogene und inhomogene Funktion zusammen:

$\begin{eqnarray*} C*e^{-k*t} + k*e^{-k*t}*m*e^{k*t}-\frac{e^{k*t}}{k} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich was falsch gemacht.
Ich bitte euch um Hilfe, da ich nicht weiter weiß.

SG

23.04.2020, 02:13

klauss

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RE: DGL 1.Ordnung berechnen
Ohne den physikalischen Hintergrund näher zu betrachten, stellt sich die Gleichung für mich im wesentlichen so dar: Die Temperaturänderung ist proportional zur zeitabhängigen Differenz zur Umgebungstemperatur. Bei Abkühlung gehen wir von $\begin{eqnarray*} y(t)>m \end{eqnarray*}$ aus.
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ dürften wohl Konstanten sein und nicht von (der Integrationsvariablen) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängig. Insofern ist ein Schritt wie

Zitat:

Original von Mathman91
Nun muss ich die partielle Integration anwenden:

$\begin{eqnarray*} u = m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u' = 1 \end{eqnarray*}$

doppelt befremdlich.
Man kann an die Gleichung nun auf verschiedene Weise herangehen (Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, Umstellung zur gewöhnl. inhomog. DGL), es kommt immer dasselbe raus.
Du solltest am besten den Lösungsweg nochmal überdenken. Ich glaube nicht, dass es viel bringt, an der bisherigen Rechnung herumzubasteln.

23.04.2020, 09:33

Ulrich Ruhnau

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RE: DGL 1.Ordnung berechnen

Zitat:

Original von Mathman91
Die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = -k*(y(t)-m) \end{eqnarray*}$

Schritt 1: Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} y' = -k*y+k*m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) = -k \end{eqnarray*}$ (homogen)
$\begin{eqnarray*} g(t) = k*m \end{eqnarray*}$ (inhomogen)

Nun integriere ich die einzelnen Funktionen:

$\begin{eqnarray*} y_{h} = C*e^{\int \! f(t) \, dt } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = C*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Stilistisch stört mich da eine Menge.

1. Mit Latex zu arbeiten ist gut und sinnvoll, jedoch sollte man statt "*" lieber "\cdot" verwenden.

2. Die Temperatur ist eine physikalische Größe und wird mit T bezeichnet.

Statt $\begin{eqnarray*} y' = -k*y+k*m \end{eqnarray*}$ heißt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd T}{\dd t}=-k(T-m) \end{eqnarray*}$

3. Was mathematisch möglich ist, sollte man auch tun. Die DGL führt zu der folgenden Integralschreibweise:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac {\dd T}{T-m}=-k\dd t \end{eqnarray*}$

4. Dieses Integral läßt sich ohne Umwege ausführen

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{T-m}{T_0-m}=-kt \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} T_0-m \end{eqnarray*}$ meine Integrationskonstante, damit der Logarithmus auf etwas dimensionsloses angewandt wird.

5. Erst zum Schluß auf beiden Seiten exp() anwenden:

$\begin{eqnarray*} T-m=(T_0-m)e^{-kt} \end{eqnarray*}$ Dabei ist $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ die Anfangstemperatur.

6. Man hätte für Umgebungstemperatur $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ auch eine andere Variable finden können, z.B. $\begin{eqnarray*} T_U \end{eqnarray*}$

23.04.2020, 20:12

Mathman91

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Bis schritt 4 komme habe ich es verstanden.

$\begin{eqnarray*} ln(T-m) = -k \cdot t \end{eqnarray*}$

Ab hier ist es mir nocht nicht klar.

Nun muss ich ja auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden:

Sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} e^{T-m} = e^{-k \cdot t} \end{eqnarray*}$ ?

Und wie komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} T-m=(T_0-m)e^{-kt} \end{eqnarray*}$ ?

Danke.

25.04.2020, 15:42

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Mathman91
Bis schritt 4 komme habe ich es verstanden.

$\begin{eqnarray*} ln(T-m) = -k \cdot t \end{eqnarray*}$

Ab hier ist es mir nocht nicht klar.

Machen wir es schrittweise.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac {\dd T}{T-m}=-k\dd t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(T-m) = -k \cdot t+c \end{eqnarray*}$ wobei c eine Integrationskonstante ist.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} T-m \end{eqnarray*}$ dimensionsbehaftet. Je nachdem ob ich in Grad oder Zehntel Grad rechne, bekomme ich etwas anderes heraus. Daher sollte man den Logarithmus nur von dimensionslosen Größen nehmen. Ebeso sollte ein Exponent immer dimensionslos gehalten werden (ohne Einheiten). Daher muß unsere Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ersetzt werden.

für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} ln(T_0-m)=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(T-m)-ln(T_0-m) = -k \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\frac{T-m}{T_0-m} = -k \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{T-m}{T_0-m}= e^{-k \cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T-m=(T_0-m) e^{-k \cdot t} \end{eqnarray*}$

D.h. die Differenztemperatur zwischen Getränk und Umgebung sinkt exponentiell.

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