Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen in Polarkoordinaten

22.04.2020, 21:24	Mathixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen in Polarkoordinaten Hallo zusammen, ich muss für die Vorlesung Analysis 4 bzw. Einführung in die Funktionentheorie diese Woche folgende Aufgabe lösen: Sei f: $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ \{0} --> $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ reell total differenzierbar. Zeige, dass f genau dann komplex differenzierbar ist, wenn für alle (t, $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ² gilt: $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\theta} \end{eqnarray}$ f( $\begin{eqnarray} e^{t+i\theta} \end{eqnarray}$ ) = i* $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \end{eqnarray}$ f( $\begin{eqnarray} e^{t+i\theta} \end{eqnarray}$ ). Meine Lerngruppe und ich, wir saßen heute schon wirklich lange daran und haben überlegt, wie wir die Aufgabe lösen können. Uns ist klar, es ist eine "genau-dann"-Aussage, d.h. man zeigt es wahrscheinlich nachher am besten, wenn man annimmt f sei komplex differenzierbar und daraus untenstehende Gleichung folgt und anschließend andersherum. Wir haben außerdem, die Definition von total differenzierbar nachgeschlagen. Aber bis zum Schluss fehlte uns überhaupt ein wirklicher Ansatz, wie wir die Aufgabe lösen können. Könnte uns deshalb vielleicht jemand einen Ansatz/einen Anfang/ eine Idee geben, wie wir diese Aufgabe lösen könnten? Vielen Dank schonmal PS: Falls beim Eingeben der Formeln irgendwas schiefgegangen sein sollte hab ich hier im Anhang nochmal ein Bild der Aufgabe.

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