Taylorentwicklung

22.04.2020, 21:57	hallo!	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung Meine Frage: nachstehender funktion ist nach taylor zu entwickeln: f(x) = 1/x nach potenzen von (x+2) Meine Ideen: ich muss ertmal ableiten aber ich versteh nicht was "nach potenzen von (x+2)" sagen soll
22.04.2020, 23:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor in der Schule? Ich verschiebe es mal in den Hochschulbereich. Was würdest Du mit den Ableitungen anfangen, um auf die gefragte Taylorreihe zu kommen? Was brauchst Du außerdem?
23.04.2020, 00:02	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: taylor entwicklung Die Taylorreihe, die in Wirklichkeit von Leibnitz entdeckt wurde, solltest Du an der Stelle $\begin{eqnarray} x=-2 \end{eqnarray}$ entwickeln. D.h. Du leitest die Funktion, immer weiter ab und setzt jedes mal für a eine minus-zwei ein. $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{eqnarray}$
23.04.2020, 04:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
23.04.2020, 06:16	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: taylor entwicklung $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{eqnarray}$ Damit du eine Potenzreihe mit den Gliedern $\begin{eqnarray} c_k(x+2)^k \end{eqnarray}$ erhälst solltest du den Entwicklungspunkt mit $\begin{eqnarray} a=-2 \end{eqnarray}$ wählen, denn nur dann ist in obiger Summe $\begin{eqnarray} (x-a)=(x--2)=(x+2) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x)=\frac 1x=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{f^{(k)}(-2)}{k!}(x+2)^k \end{eqnarray}$ Das gelingt aber nur wenn du für $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{\partial ^k}{\partial u^k}\left(\frac 1u\right)\bigg \|_{u=-2} }{k!} \end{eqnarray}$ einen geschlossenen Ausdruck in $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ findest.
23.04.2020, 08:50	hallo!	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: taylor entwicklung ok danke aber bis zum welchen grard muss ich das jetzt entwickeln die ableitungen gehen ja ins unendlcihe da die funktion kein polynom ist.
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23.04.2020, 10:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gehen willst oder musst brauchst du das allgemeine Glied $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ , das nur von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ abhängt. Beispiel: bei $\begin{eqnarray} f(x):=e^x \end{eqnarray}$ und Entwicklungspunkt Null ist das allgemeine Glied $\begin{eqnarray} c_k=\frac {1}{ k!} \end{eqnarray}$ die Summe kann somit bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen. Ob das bei 1/x und a=-2 auch funktioniert musst du selbst herausfinden, ich weiß es nicht.
23.04.2020, 21:23	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also um Abzuschließen : $\begin{eqnarray} T_4(x,-2)=-\frac{1}{32}(x+2)^4-\frac{1}{16}(x+2)^3 -\frac{1}{8}(x+2)^2-\frac{1}{4}(x+2)-\frac12 \end{eqnarray}$ ohne Herleitung. Aber das allgemeine Taylorpolynom $\begin{eqnarray} T_k(x,-2) \end{eqnarray}$ ist leicht zu erkennen.

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