Wahrscheinlichkeit Elfmeterschießen

23.04.2020, 08:54

2stefans

Wahrscheinlichkeit Elfmeterschießen

Meine Frage:
Hallo,

bei folgender Überlegung bin ich mir leider unsicher:

Wir haben eine Mannschaft beim Elfmeterschießen mit nur 5 Schützen. Trefferwahrscheinlichkeit ist p=0,7.
Wie wahrscheinlich ist es, dass 4 von 5 treffen? Antwort: Normale Binomialverteilung, also P=0,36015.

Angenommen wir betrachten nun 2, 3, 4, ..., unendlich viele Mannschaften.
Wie wahrscheinlich ist dann, dass eine der 2, 3, 4, ... Mannschaften dem Ereignis (4 von 5 treffen) entspricht?

Meine Ideen:
Bei einer Mannschaft mit Binomialverteilung: P=0,36015.

Aber bei theoretisch unendlich vielen Mannschaften, würde doch das P gegen 1 streben.

23.04.2020, 08:58

G230420

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RE: Wahrscheinlichkeit Elfmeterschießen

Zitat:

Wie wahrscheinlich ist dann, dass eine der 2, 3, 4, ... Mannschaften dem Ereignis (4 von 5 treffen) entspricht?

Was genau meinst du damit? verwirrt

Bitte klarer formulieren!

23.04.2020, 18:27

HAL 9000

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Man muss überhaupt aufpassen mit der Einbettung in "Elfmeterschießen":

Es ist dort ja keineswegs so, dass auch immer alle 5 Schützen überhaupt dran kommen. Es könnte schon nach 3 Schützen jeder Mannschaft vorbei sein (nahe dran mit insgesamt 4+3=7 Schützen beider Mannschaften war z.B. das hier https://de.wikipedia.org/wiki/Fu%C3%9Fba...._V.,_0:3_i._E. )

23.04.2020, 20:29

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit Elfmeterschießen
Also gehen wir mal davon aus, dass wir uns nicht im Rahmen eines Wettbewerbs befinden, sondern theoretisch beliebig viele 5er-Serien hintereinander schießen können.
Bei Einzeltrefferwahrscheinlichkeit 0,7 beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer in einer 5er-Serie wie genannt 0,36015.
Ich interpretiere nun

Zitat:

Original von 2stefans
Wie wahrscheinlich ist dann, dass eine der 2, 3, 4, ... Mannschaften dem Ereignis (4 von 5 treffen) entspricht?

so, dass bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -maliger Durchführung des Zufallsexperiments "5er-Serie" das Ergebnis "genau 4 Treffer" genau 1 mal eintreten soll.
Das können wir wiederum als neue Bernoullikette der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=0,36015 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ betrachten.
Das Ereignis
$\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ : genau 1 mal genau 4 Treffer
hat dann die Wahrscheinlichkeit
$\begin{eqnarray*} P(E)=\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} p\left(1-p\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$
Wächst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ über alle Maßen, ist
$\begin{eqnarray*} P(E)=\lim_{n \to \infty } np\left(1-p\right)^{n-1}=\frac{p}{1-p} \cdot \lim_{n \to \infty } n\left(1-p\right)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n\left(1-p\right)^{n} =\lim_{n \to \infty } n\cdot e^{n\cdot ln\left(1-p\right) }=0 \end{eqnarray*}$
denn wegen $\begin{eqnarray*} 0<1-p<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ln\left(1-p\right)<0 \end{eqnarray*}$ und die e-Funktion zieht das Produkt nach 0.

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