Maximaler Flächeninhalt von Dreieck im Rechteck

23.04.2020, 15:52

kataj

Maximaler Flächeninhalt von Dreieck im Rechteck

Meine Frage:
Die Aufgabe ist im Anhang.

Mein Problem ist leider, dass ich mir während der Corona Kriese Zuhause alles selber beibringen muss. Leider gibt uns unser Lehrer nur Aufgaben, die wir noch nie gemacht haben. da bin ich mit meinem Latein am ende.

Ich würde gerne einmal eine komplette Rechnung sehen mit Zwischenschritten zu der Aufgabe, damit ich bei anderen Aufgaben auch nach dem Schema arbeiten kann.

Liebe Grüße

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, eine Gleichung für das Dreieck und für das Rechteck aufzustellen.

Dann vielleicht ein x auszurechnen und es in der ersten Funktion einfügen?

23.04.2020, 16:20

Steffen Bühler

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RE: Maximaler Flächeninhalt von Dreieck im Rechteck
Willkommen im Matheboard!

Dein Bild ist leider etwas unscharf. Soll das gesuchte Dreieck dasjenige kleine sein, dessen Katheten auf der x- bzw. y-Achse liegen? Dann hilft Pythagoras.

Falls nicht oder wenn Du auf Schwierigkeiten stößt - melde Dich einfach.

Viele Grüße
Steffen

24.04.2020, 12:56

willyengland

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Ich habe mal ein Bild erstellt.

[attach]51078[/attach]

Grundsätzlich ist das Vorgehen bei solchen Extremwertaufgaben ja immer gleich:
1. Man stellt eine Formel für den gesuchten Parameter auf.
2. Man sucht eine Nebenbedingung.

Nehmen wir mal an, das grüne Dreieck solll maximiert werden.
Dann ist die Hauptbedingung die Formel für die Fläche:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}\cdot x\cdot d \end{eqnarray*}$

Man sucht jetzt das x, bei welchem die Fläche A maximal wird.
Nun ist ja d auch nicht bekannt.
Man muss also eine Nebenbedingung d = f(x) suchen.
Das kann man in diesem Fall, wie schon erwähnt, mit dem Pythagoras machen.

$\begin{eqnarray*} x^2+d^2=c^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d^2=c^2-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d^2=(20-d)^2-x^2 \end{eqnarray*}$
...
nach d auflösen und in obige Formel für A einsetzen.
Man erhält so eine Formel für A, die nur noch von x abhängt.
Diese dann ableiten und den Extremwert bestimmen.

24.04.2020, 13:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Dein Bild ist leider etwas unscharf.

Wenn man nur ca. 5 (!) Pixel für die Buchstabenhöhe spendiert, kann ja auch nix vernünftiges rauskommen. Augenzwinkern

@kataj

Bitte das nächste mal etwas größer als nur 320x240 posten. Und auch gleich richtig gedreht, man will sich ja nicht den Hals verrenken.

25.04.2020, 10:17

willyengland

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Ich denke gerade darüber nach, wie man das große Dreieck maximieren könnte.
Wenn also in dem Bild c das x wäre.
Leider habe ich keine Idee.

25.04.2020, 12:36

HAL 9000

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[attach]51086[/attach]

Die drei Dreieckseckpunkte in der Skizze sind $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (0,h-b) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (a,h) \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die gegebene A4-Blatthöhe, d.h., $\begin{eqnarray*} h=\frac{1~m}{4\sqrt[4]{2}}\approx 0.21~m \end{eqnarray*}$

Die Werte $\begin{eqnarray*} a,b,x \end{eqnarray*}$ sind über folgende Pythagoras-Gleichungen verknüpft:

$\begin{eqnarray*} x^2+ (h-b)^2 = b^2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} b = \frac{x^2+h^2}{2h}\qquad (1) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (x-a)^2+h^2 = a^2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} a = \frac{x^2+h^2}{2x}\qquad (2) \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man die Fläche des grauen Dreiecks als Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ darstellen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{ab}{2} = \frac{(x^2+h^2)^2}{8xh}\qquad (3) \end{eqnarray*}$ .

Zu beachten ist aber auch noch der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ : Einerseits ist $\begin{eqnarray*} x\leq h \end{eqnarray*}$ (folgt aus $\begin{eqnarray*} x\leq b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\leq h \end{eqnarray*}$ ), andererseits darf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die A4-Blattbreite $\begin{eqnarray*} w=\sqrt{2}h \end{eqnarray*}$ nicht überschreiten, das mündet via (2) in eine untere Grenze $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h. es muss auch $\begin{eqnarray*} x\geq x_1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Damit ist die Grundlage bereitet für eine anstehende Extremwertuntersuchung der Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

25.04.2020, 15:29

willyengland

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Ganz herzlichen Dank, HAL! Sehr schön!
Ist schon etwas komplizierter als obige Fragestellung.

Zitat:

Zu beachten ist aber auch noch der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ : Einerseits ist $\begin{eqnarray*} x\leq h \end{eqnarray*}$ (folgt aus $\begin{eqnarray*} x\leq b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b\leq h \end{eqnarray*}$ ), andererseits darf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die A4-Blattbreite $\begin{eqnarray*} w=\sqrt{2}h \end{eqnarray*}$ nicht überschreiten, das mündet via (2) in eine untere Grenze $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h. es muss auch $\begin{eqnarray*} x\geq x_1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Das hatte ich mir auch schon überlegt.
Und es kommt ja raus, dass das Maximum am Rand des Def.bereichs liegt, nämlich wenn man ein Quadrat faltet (x = 21).
Das hatte mir meine Intuition auch schon als Maximum nahegelegt.

Die andere Grenze ist interessanterweise genau bei Länge minus Höhe der DinA4 Seite also ca. 8,7.
Allerdings ist dort nicht das Minimum, sondern bei ca. 11,5.

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