Kern und Bild einer linearen Abbildung

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floxo115 Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild einer linearen Abbildung
Hallo, ich bin neu hier und versuche mich gerade an meinem ersten Post:

Also ich arbeite das Buch Mathematik von Arens durch und stehe im Abschnitt über lineare Algebra bei einem Beispiel betreffend den Kern und das Bild einer linearen Abbildung vollkommen an. Falls jemand das Buch hat, es geht um das letzte Beispiel auf Seite 618:

Wir wählen im einen normierten, aber sonst beliebigen Vektor , es gilt also . Mit diesem Vektor bilden wir die Matrix.

Die folgende Abbildung ist linear.

Es sollen Bild und Kern bestimmt werden. Es wird wie folgt vorgegangen:

Es wird für und für einen Vektor v mit geprüft:




Damit ist zu erkennen, dass jeder Vektor, der senkrecht zu ist, auf den Nullvektor abgebildet wird. Die Menge aller dieser zu senkrechten Vektoren ist der zweidimensionale Untervektorraum , der durch die folgenden Gleichung bestimmt ist:
Diese Ebene ist also der Kern der linearen Abbildung . Das Bild der linearen Abbildung ist der eindimensionale Untervektorraum <>

---

Ich verstehe, weshalb man normal auf n stehende Vektoren verwendet um den Kern zu finden. Man muss setzen und das geht, da n normiert ist, nur mit

Ich verstehe auch, weshalb ist und dass Teil des Bildes ist. Ich verstehe nur nicht, wie man schließt, dass durch schon das gesamte Bild abgedeckt ist!

Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt und bin für jede Hilfe dankbar!
Euer Floribert!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege Dir, welche Dimension der kern hat oder anders formuliert: Wie viele linear unabhängige Vektoren findest Du, die orthogonal zu n sind?
Was sagt Dir dann der Dimensionssatz über das Bild?
floxo115 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Dimensionssatz, mit dem würde ich errechnen, dass das Bild eine Dimension von 1 haben muss, da der Kern eine Fläche bildet und somit eine Dimension von 2 haben muss. Wenn das Bild eine Dimension von 1 hat und im Bild liegt, dann muss das Bild gleich <> sein.

ABER: Der Dimensionssatz kommt erst im nächsten Kapitel und ist zu diesem Zeitpunkt nicht bekannt. Und ich komme einfach nicht darauch, wie ich sonst auf die Lösung kommen soll. Es ist ein vorgerechnetes Beispiel und sollte eigentlich offensichtlich sein, aber ich bin blockiert.
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Man sieht es direkt. Für eine beliebigen Vektor ist . In der Klammer steht ein Skalar, also ist die rechte Seite imemer ein Vielfaches von
floxo115 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Das macht absolut Sinn. Nur wieso werden dann im Beispiel nur Vektoren untersucht, welche ein Vielfaches von n sind?
Also:
f(kn)=P(kn)=»kn(n^Tn)=kn

Ich kann darin keinen wirklichen Sinn erkennen. Aber so wie du es gezeigt hast, glaube ich es zu verstehen.

Für jeden beliebigen Vektor aus R^3 ergibt sich ein Vielfaches von n und wenn der beliebige Vektor normal auf n steht, dann ist dieses Vielfache gleich 0.
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Wieso das so gemacht wird, musst du Tilo fragen - oder wer auch immer dieses Kapitel geschrieben hat.
 
 
floxo115 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auf jeden Fall!
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