Trigonometrische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

23.04.2020, 17:05	Tom3747	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen Meine Frage: Hallo, bin leider bei dieser Aufgabe hängengeblieben. Es war kein Problem von der Gleichung (1) auf die Gleichung (7) zu kommen. Wenn man den Text weiter liest, kann mann sehen,dass man nun mit der Doppelwinkelformel arbeiten muss. Ihr könnt ja mal den Textabschnitt lesen und vielleicht kommt ihr ja auf den richtigen Lösungsweg.. Vielen Dank im Voraus Meine Ideen: ..
23.04.2020, 18:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen In der dritten Zeile von unten muss es wohl $\begin{eqnarray} \tan (2\alpha)=\frac{2\sqrt{-ac}}{b} \end{eqnarray}$ heißen. Darauf kommt man, wenn man $\begin{eqnarray} \tan\alpha \end{eqnarray}$ in (1) einsetzt, aber dabei eben die Doppelwinkelformel benutzt, um $\begin{eqnarray} y^2-1 \end{eqnarray}$ zu berechnen.
23.04.2020, 23:04	Tom3747	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen Ich glaube, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe... Ich wäre sehr dankbar, wenn Sie mal den Schritt aufschreiben würden.. Vielen Dank
24.04.2020, 00:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} y \end{align}$ wird der Ansatz $\begin{align} y = \tan(\alpha) \end{align}$ gemacht. Das ist möglich, denn wenn $\begin{align} \alpha \end{align}$ etwa das Intervall $\begin{align} \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align}$ durchläuft, durchläuft $\begin{align} y \end{align}$ alle reellen Zahlen. In der Gleichung $\begin{align} \text{(7)} \ \ y^2 + dy -1 = 0 \end{align}$ wird zunächst nach $\begin{align} dy \end{align}$ aufgelöst, dann durch $\begin{align} 1-y^2 \end{align}$ dividiert: $\begin{align} \frac{dy}{1-y^2} = 1 \end{align}$ (Das ist nur erlaubt, wenn $\begin{align} y \neq \pm 1 \end{align}$ ist, was nirgendwo erwähnt wird. Setzt man $\begin{align} y = \pm 1 \end{align}$ in die Gleichung $\begin{align} \text{(7)} \end{align}$ ein, erhält man $\begin{align} d=0 \end{align}$ , also $\begin{align} b=0 \end{align}$ . Kurzum: Eigentlich gehört $\begin{align} b \neq 0 \end{align}$ noch in die Voraussetzungen.) Wenn man diese Gleichung mit 2 multipliziert und verwendet, daß ja $\begin{align} \tan(2 \alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = \frac{2y}{1-y^2} \end{align}$ , gilt, erhält man $\begin{align} d \cdot \tan(2 \alpha) = 2 \end{align}$ Unter Verwendung der Bedeutung von $\begin{align} d \end{align}$ heißt das aber gerade $\begin{align} \tan(2 \alpha) = \frac{2}{d} = \frac{2 \sqrt{-ac}}{b} \end{align}$ Diese Gleichung hat für $\begin{align} 2 \alpha \in \left( - \pi , \pi \right) \end{align}$ zwei Lösungen $\begin{align} \alpha \end{align}$ . Sie führen über $\begin{align} y = \tan(\alpha) \end{align}$ zu zwei Lösungen $\begin{align} y \end{align}$ und über die Substitution für $\begin{align} x \end{align}$ ganz oben zu zwei Lösungen $\begin{align} x \end{align}$ . Im Text wird etwas anders vorgegangen. Man bestimmt nur einen Winkel $\begin{align} \alpha \end{align}$ , also nur ein $\begin{align} y \end{align}$ , und das andere dann über den Satz von Vieta. Es befindet sich übrigens ein weiterer Schreibfehler im Text. Unten bei $\begin{align} x_1 \end{align}$ darf das Wurzelzeichen nicht über $\begin{align} \tan(\alpha) \end{align}$ gezogen werden. Eine merkwürdige Art, quadratische Gleichungen zu lösen. Was es nicht alles gibt ...
24.04.2020, 00:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Doppelwinkelformel liefert $\begin{eqnarray} 1-y^2=\frac{2y}{\tan(2\alpha)} \end{eqnarray}$ . Einsetzen in (7) liefert $\begin{eqnarray} 0=y(d-\frac{2}{\tan(2\alpha)}) \end{eqnarray}$ Jetzt überlegt man sich, wann die Klammer Null wird.

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