Zeigen dass eine Menge von 1. Kategorie ist (Baire)

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Zeigen dass eine Menge von 1. Kategorie ist (Baire)
Ich versuche gerade die Lösung von Punkt (ii) von folgender Aufgabe zu verstehen:


[attach]51075[/attach]

Und hier die Lösung dazu:

[attach]51076[/attach]

Die Beweisführung ist mir im Prinzip klar, aber ich verstehe nicht, wie man von der Annahme (die man danach auf einen Widerspruch führt)
"Angenommen wäre von 2. Baire Kategorie in "
auf
kommt

Der Autor erwähnt ja, dass das irgendwie aus dem Beweis des uniform boundedness principle bzw Satz von Banach Steinhaus folgen soll, aber ich sehe das nicht (hab mir auch mehrere Beweise dazu angesehen, in dem vorliegenden Buch ist er leider nicht enthalten).

Hier noch Definitionen zu den Kategorien:
[attach]51077[/attach]
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