Fixpunkt abwandlung

24.04.2020, 10:41	Hummelhummelsummsumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt abwandlung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,d_X) \end{eqnarray}$ ein vollständiger metrischer Raum und $\begin{eqnarray} \alpha \in (0,1) \end{eqnarray}$ .Sei $\begin{eqnarray} (Z,d_Z) \end{eqnarray}$ ein weiterer metrischer Raum.Es sei $\begin{eqnarray} f:Z \times X \to X \end{eqnarray}$ stetig im ersten Argument,d.h. $\begin{eqnarray} f(\cdot,x) \end{eqnarray}$ ist stetig für jedes $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ , und eine Kontraktion im zweiten Argument,d.h $\begin{eqnarray} d_x(f(z,x),f(z,y)) \le \alpha d_X(x,y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in X,z \in Z. \end{eqnarray}$ Zeigen sie,dass $\begin{eqnarray} f(z,\dcot) \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} z \in Z \end{eqnarray}$ einen eindeutigen Fixpunkt $\begin{eqnarray} x_{\}(z) \end{eqnarray}$ hat und dass $\begin{eqnarray} x_{\}(\cdot) \in C(Z,X) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hey leuts, ich hänge seit Tagen an dieser Aufgabe fest,hat vielleicht jemand einen Tipp oder Ansatz, den ich verfolgen kann? Liebe grüße Torsten
24.04.2020, 11:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mit der Eindeutigkeit anfangen. Angenommen, es gibt zu vorgegebenem $\begin{align} z \in Z \end{align}$ zwei Fixpunkte $\begin{align} x,y \in X \end{align}$ , also $\begin{align} f(z,x)=x \ \ \text{und} \ \ f(z,y)=y \end{align}$ dann betrachten wir die Distanz zwischen beiden: $\begin{align} d_X(x,y) = d_X \left( f(z,x),f(z,y) \right) \leq \alpha \cdot d_X(x,y) \end{align}$ Zuletzt haben wir die Kontraktionseigenschaft ausgenutzt. Die Multiplikation einer positiven Zahl $\begin{align} d \end{align}$ mit einer Zahl $\begin{align} \alpha \in (0,1) \end{align}$ ergibt einen kleineren Produktwert: $\begin{align} \alpha d < d \end{align}$ . Wäre also $\begin{align} d_X(x,y)>0 \end{align}$ , so bekämen wir oben weiter $\begin{align} d_X(x,y) \leq \alpha \cdot d_X(x,y) < d_X(x,y) \end{align}$ Aus diesem Widerspruch kommt man nur heraus, wenn man $\begin{align} d_X(x,y) = 0 \end{align}$ hat, also $\begin{align} x=y \end{align}$ . Damit ist gezeigt: Zu vorgegebenem $\begin{align} z \in Z \end{align}$ gibt es höchstens einen Fixpunkt $\begin{align} x \end{align}$ , also $\begin{align} f(z,x)=x \end{align}$ . Wenn die Existenz eines Fixpunktes gezeigt ist, kann man diesen zu vorgegebenem $\begin{align} z \end{align}$ dann eindeutig bestimmten Fixpunkt als $\begin{align} x_(z) \end{align}$ bezeichnen und hat eine Funktion $\begin{align} z \mapsto x_(z) \end{align}$ . Fehlt also noch die Existenz. Die Idee ist, diesen Fixpunkt zu konstruieren. Jetzt hat man aber außer der metrischen Struktur auf $\begin{align} X \end{align}$ und $\begin{align} Z \end{align}$ keinerlei weitere Strukturen. Man kann also nicht addieren, multiplizieren und Ähnliches. Der einzige Operator, den man hat, ist letztlich $\begin{align} f \end{align}$ selber: $\begin{align} f(z,\cdot) \end{align}$ ist im zweiten Argument stetig. Wenn man nun irgendeine Cauchy-Folge $\begin{align} (x_k) \end{align}$ in $\begin{align} X \end{align}$ hat, dann muß diese wegen der Vollständigkeit einen Grenzwert $\begin{align} x \end{align}$ besitzen, und wegen der Stetigkeit muß gelten: $\begin{align} \lim_{k \to \infty} f(z,x_k) = f \left( z, \lim_{k \to \infty} x_k \right) = f(z,x) \end{align}$ Fehlt nur noch, daß auch noch $\begin{align} f(z,x) = x \end{align}$ ist. Man wird daher diese Folge durch fortwährende Anwendung von $\begin{align} f \end{align}$ erzeugen. Eine andere Chance hat man nicht. Lange Rede, kurzer Sinn. Wir beginnen mit einem $\begin{align} x_0 \in X \end{align}$ , irgendwie gewählt, und definieren rekursiv $\begin{align} x_{k+1} = f(z,x_k), \ k \geq 0 \end{align}$ Zeige: 1. Die Folge $\begin{align} (x_k) \end{align}$ ist eine Cauchy-Folge. 2. Für den Grenzwert $\begin{align} x \end{align}$ der Folge gilt $\begin{align} f(z,x) = f(x) \end{align}$ Dann wäre die Existenz eines Fixpunktes $\begin{align} x \end{align}$ gezeigt, den man dann wegen der Eindeutigkeit $\begin{align} x = x_(z) \end{align*}$ nennt.

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