Funktionentheorie Nullstellen auf Einheitskreisscheibe

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Phasma Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionentheorie Nullstellen auf Einheitskreisscheibe
Es sei die offene Einheitskreisscheibe. Darüber hinaus seinen und auf einer Umgebung von holomorphe Funktionen, die keine Nullstelle in besitzen. Zeigen Sie: Gilt auf , so gibt es eine Konstante mit , so dass auf .
Hinweis: Man nehme zunächst an, dass auch auf keine Nullstellen von liegen.


Bei dieser Aufgabe habe ich leider keine Ahnung, wie ich vorgehen muss. Ist hier dann die abgeschlossene Einheitskreisscheibe?
Auch der Hinweis hilft mir nicht so recht weiter. Wenn auch auf keine Nullstellen von liegen, dann hat auch auf keine Nullstellen, da ja auf . Aber hier habe ich keine Idee mehr, wie ich zum Ziel komme.

Ich weiß schon, das ist jetzt nicht besonders viel Input, aber vielleicht kann mir hier trotzdem jemand weiterhelfen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Phasma
Ist hier dann die abgeschlossene Einheitskreisscheibe?

Ja.

Wenn f und g keine Nullstellen haben, kann man f/g betrachten. Zu zeigen ist ja, dass dieser Quotient gleich c ist. Außerdem fallen mir bei holomorphen Funktionen immer das Schwarzsche Lemma und das Maximumprinzip ein. Ich weiß leider auch nicht, wie das zusammen passt.

Nachtrag: Hier ist ein weiterer Baustein, das Gebäude ist aber noch nicht fertig. https://matheplanet.com/default3.html?ca...w.google.com%2F
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Man kann unter der Zusatzannahme auch betrachten. Das Betragsmaximum von liegt auf , das Schwarzsche Lemma liefert die Behauptung.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz verstehe ich das leider noch nicht.

Zunächst der Vorschlag von Elvis. Wir betrachten also . Wegen dem Maximumsprinzip nimmt diese Funktion ihr Betragsmaximum auf an. Könnte ich nun nicht auch noch das Minimumsprinzip anwenden, das besagt, dass die Funktion auch ihr Betragsminimum auf annimmt?!

Es gilt ja auf , also . Maximum und Minimum wären dann also gleich. Deshalb muss auf konstant sein, und wegen dem Link von Elvis auch .

Ist dieser Beweis richtig?

Inwiefern liefert das Schwarzsche Lemma auch die Behauptung? Das würde doch liefern, dass für alle und . Wie komme ich von hier zur Behauptung?

So oder so ist das ja erstmal nur einer von zwei Fällen, wenn ich es richtig sehe. Denn wir haben ja nur den Fall behandelt, dass auf keine Nullstellen von liegen. Wie zeige ich die Aussage für den anderen Fall?
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Maximum, Minimum und Elvislink reichen m.E. auch aus.
Ich dachte an den Spezialfall des Schwarzschen Lemmas: Ist an einer Stelle , dann ist h eine Drehung . Aber das geht wohl nur, wenn ist.

Für den allgemeinen Fall: Aus folgt . Also und anlog für . Folgt dann aus nicht, dass und Nullstellen gleicher Ordnung auf haben? Kürzen die sich dann nicht einfach heraus?
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Ich dachte an den Spezialfall des Schwarzschen Lemmas: Ist an einer Stelle , dann ist h eine Drehung . Aber das geht wohl nur, wenn ist.


Ich versteh es leider immer noch nicht. Auf welches willst du hier hinaus, und wie hilft es mir weiter, wenn ? Ich muss doch zeigen, dass konstant ist.

Zitat:
Original von URL
Folgt dann aus nicht, dass und Nullstellen gleicher Ordnung auf haben? Kürzen die sich dann nicht einfach heraus?


Wie würde man das formal aufschreiben? Ich denke ich verstehe, was du meinst: und , wobei und . Es liegt schon nahe, aus dann zu folgern, dass , aber wie zeigt man das?
 
 
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Bei mir war . Wenn das eine Drehung ist, muss der Quotient von f und g konstant sein.

Auf ist . Für dividiert man durch die kleinere Potzenz und bekommt z.B. und lässt jetzt auf gegen konvergieren.
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