Überprüfen von Markov-Eigenschaften für Folgen

24.04.2020, 17:45

hello123

Überprüfen von Markov-Eigenschaften für Folgen

Meine Frage:
Hallo allerseits,
ich brauche leider eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe.
Vielen Dank im Voraus smile

Meine Ideen:
Wir hatten in der Vorlesung ausschließlich die Markov-Eigenschaft gehabt (-> Gedächtnislosigkeit). Ich weiß leider nicht wie ich die Eigenschaft für die Folgen prüfen soll.

25.04.2020, 09:23

SHigh

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Hallo,

es gilt zz, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten immer nur vom letzt Zustand abhängen, also

$\begin{eqnarray*} P\left(S_{n+1}\,|\, S_0,S_1,\dots ,S_n\right) = P\left(S_{n+1}\,|\, S_n\right) \end{eqnarray*}$ .

Bei b) muss die Folge wohl bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ starten, da $\begin{eqnarray*} Y_{-1} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist oder $\begin{eqnarray*} T_0:=Y_0 \end{eqnarray*}$ gesetzt werden.

25.04.2020, 09:59

HAL 9000

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Zunächst zur Markoff-Eigenschaft. Hinreichend für die Markoff-Eigenschaft einer solchen aus $\begin{eqnarray*} (Y_n) \end{eqnarray*}$ konstruierten Folge $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ ist die Existenz von deterministischen Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_n = f_n\left(X_{n-1},Y_n\right) \end{eqnarray*}$ . Ist zudem auch noch $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} f_n\equiv f \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann ist die Markoff-Kette sogar homogen.

Das kann man sofort bei (a) und (c) anwenden

(a) $\begin{eqnarray*} S_n=f(S_{n-1},Y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s,y):=s+y \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} M_n=f(M_{n-1},Y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m,y):=\max\{m,y\} \end{eqnarray*}$

Bei b) klappt das hingegen nicht, i.a. dürfte $\begin{eqnarray*} (T_n) \end{eqnarray*}$ auch keine Markoff-Kette sein (Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ suchen!)

25.04.2020, 14:23

hello123

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Beweis für a)
Hallo SHigh,

wie beweist man das, was zz. ist? Könntest du da ein paar Schritte aufschreiben? Würde mir sehr viel weiterhelfen.
Danke im Voraus smile

25.04.2020, 18:11

hello123

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Wie kann man genau beweisen, dass T nicht die Markov-Eigenschaft besitzt?

25.04.2020, 18:33

HAL 9000

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Indem man z.B. eine Verteilung $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sowie ein Tripel $\begin{eqnarray*} i,j,k \end{eqnarray*}$ findet mit

$\begin{eqnarray*} P(T_n = i \mid T_{n-1}=j,T_{n-2}=k) \neq P(T_n = i \mid T_{n-1}=j) \end{eqnarray*}$

Bei einer Markovkette muss das immer gleich sein.

25.04.2020, 20:20

hello123

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Kann man das auch beweis-technisch zeigen?

25.04.2020, 22:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von hello123
Kann man das auch beweis-technisch zeigen?

Ich mach mal eine Strichliste, jedesmal wenn ich diese bescheuerte Anmerkung höre. Finger1

Wenn man eine Aussage wie Markoff widerlegen will, genügt nun mal die Angabe eines Gegenbeispiels. Man kann schließlich auch gar nicht allgemein zeigen, dass für ALLE möglichen Verteilungen $\begin{eqnarray*} (q_z) \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} (T_n) \end{eqnarray*}$ KEINE Markoff-Kette ist: Für alle Einpunktverteilungen IST es nämlich eine Markoff-Kette!!!

25.04.2020, 23:28

hello123

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Kann man als einen fairen Münzwurf als Beispiel nehmen? Seien $\begin{eqnarray*} Y_n \end{eqnarray*}$ faire Münzwürfe und $\begin{eqnarray*} T_2=1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} P(T_3=0 | T_1=1,T_2=1)>0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} P(T_3=0 | T_1=0,T_2=1)=0 \end{eqnarray*}$ . Reicht das als Gegenbeispiel?

26.04.2020, 06:47

HAL 9000

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Na bitte, geht doch! Beim ersten geht es in der Bedingung um die Sequenz 010 oder 101, so dass im ersteren Fall 0100 möglich ist (Wkt 1/2). Im zweiten Fall haben wir jedoch in der Bedingung 001, womit keine Fortsetzung 001x mit Summe 1+x=0 möglich ist. Freude

26.04.2020, 14:18

hello123

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Und wie kann ich überprüfen, ob die Folge ein Martingal ist?

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