Linksneutrales, Rechtsinverses, aber keine Gruppe

24.04.2020, 17:47

MaPalui

Linksneutrales, Rechtsinverses, aber keine Gruppe

Hallo Leute smile

Ich soll eine Struktur $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ angeben, die keine Gruppe ist, aber:
1) Die Verknüfung ist assoziative, zweistellige Verknüpfung
2) Es gibt ein Linksneutrales
3) Jedes Element besitzt ein Rechtsinverses

Mir fällt leider dieses "Suchen" sehr schwer. Ich vermute, dass die fehlende Transitivität das ist, was ich zum LÖsen benötige, aber kann noch nicht wirklich in die Richung denken.

Könntet ihr mir wohl einen Hinweis geben?

LG
Maren

24.04.2020, 18:03

Elvis

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bezüglich Addition ist
0 1
1 0
die Gruppe eines Körpers
da liegt es doch nahe, dass
0 1
0 1
die von dir gesuchte Merkwürdigkeit ist.
Wäre
0 1
0 0
oder
0 1
1 1
eine weitere Möglichkeit ?

("Wer aufräumt, ist nur zu faul zum suchen." Wer nicht findet ist nur zu faul zum suchen. Big Laugh

)

24.04.2020, 20:08

IfindU

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@Elvis:

Bzgl. Matrizenaddition kommutiert. Da jede kommutatives $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ zusammen mit 1,2,3 sogar eine abelsche Gruppe bildet, kann es kein Gegenbeispiel der Form geben.

@MaPalui

Mir fällt auch nichts ein. Ich würde $\begin{eqnarray*} G = \{ e,b,c \} \end{eqnarray*}$ versuchen und per Verküpfungstabelle versuchen etwas aufzubauen, dass die geforderten Eigenschaften erfüllt. So kann $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das Linksneutrale sein und schon hast du eine Zeile der 3x3 Matrix ausgefüllt.

Edit: Oder sollen das Verknüpfungstabellen sein, Elvis?

24.04.2020, 21:43

Elvis

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Das sind Verknüpfungstabellen, und das erste Beispiel habe ich auch schon auf Assoziativgesetz geprüft.

25.04.2020, 10:16

IfindU

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Weil ich eine Weile gebraucht habe, um es zu verstehen, habe ich eine "klassischere" Darstellung gebastelt.
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ c|cc } +& 0 & 1 <br /> \hline 0 & 0 & 1 <br /> 1 & 1 & 0 \end{array} \end{eqnarray*}$

25.04.2020, 11:12

Elvis

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Danke, so mache ich das sonst auch, aber mit dem Smartphone bin ich manchmal zu bequem, um eine gute Darstellung anzubieten. Übrigens habe ich die Assoziativität für
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ c|cc } +& 0 & 1 <br /> \hline 0 & 0 & 1 <br /> 1 & 0 & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$
geprüft, was mit ein wenig Mühe verbunden ist.

25.04.2020, 21:41

MaPalui

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Hallo ihr Beiden,

danke für eure Mühen.
Ich habe mit den Verknüpfungstafeln von Elvis gearbeitet. Eigenschaft 2 und 3 sind erfüllt
Aber stehe ich denn auf dem Schlauch? Ist denn nicht $\begin{eqnarray*} (0 \circ 1) \circ 0 = 1 \circ 0 = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 0 \circ (1 \circ 0) = 0 \circ 0 = 0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Ja, es ist wohl zu spät für heute Big Laugh

Morgen rechne ich weiter. Dabei werde ich alle $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten ausprobieren. Elvis, ist es das, was du mit "Mühe" meintest? Also das "bloße Ausprobieren"?

25.04.2020, 21:56

Elvis

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Das ist doch ein Beispiel für die Assoziativitaet. Die anderen 7 Beispiele funktionieren genauso.

25.04.2020, 22:02

MaPalui

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Danke sehr Augenzwinkern

Habe oben meinen Beitrag editiert. Wünsche euch erstmal eine gute Nacht smile

LG
Maren

25.04.2020, 23:43

Finn_

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Das ist ein ganz anregender Aufgabentypus. Da bin ich noch nie mit Brute-Force durchgewandert. Wie viele solche Gebilde es in den Eingangsgrotten dieses endlosen dunklen Höhlensystems zu finden gibt, berichte ich dann, spoilerfrei versteht sich.

26.04.2020, 07:05

Elvis

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Ein allgemeiner Test auf Assoziativitaet ist mir nicht bekannt. Ich würde mich freuen, wenn da jemand etwas anbieten könnte.
Bei Untergruppen z.B. hat man das Untergruppenkriterium, da muss man sich nicht damit plagen. Es ist klar, dass jede Teilmenge einer assoziativen Struktur assoziativ ist.
Wenn man van der Waerden "Algebra II" liest, sieht man deutlich, wie das Wissen über algebraische Strukturen auch durch fleißige und langwierige Untersuchungen von Beispielen entwickelt wurde.

26.04.2020, 15:34

MaPalui

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Hallo ihr Lieben smile

ich danke euch sehr für eure Antworten. Ich habe die Aufgabe nun damit gelöst und viele Einblicke in die Assoziativität bekommen. Vorher habe ich immer gedacht, das wäre "einfach da oder eben nicht", aber als so besonders habe ich die Assoziativität nie aufgefasst. Wieder was gelernt! (Wie immer in diesem Forum Augenzwinkern

)

Vielen Dank und schönen Sonntag
Maren

26.04.2020, 22:41

Finn_

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Bin von der Höhlenwanderung zurück. Hinter Ordnung 4 tut sich ein dunkler Abgrund auf.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

Ordnung                   |   0    1    2     3      4  |  OEIS
-----------------------------------------------------------------
Anzahl der Magmas         |   1    1   16   3^9   4^16  | A002489
Anzahl der Halbgruppen    |   1    1    8   113   3492  | A023814
Anzahl der Monoide        |   0    1    4    33    624  | A058153
Anzahl der Gruppen        |   0    1    2     3     16  | A034383
Anzahl der abel. Gruppen  |   0    1    2     3     16  | A034382
-----------------------------------------------------------------
Anzahl Strukturen Aufgabe |   0    0    1     1     13  |

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