Kettenregel [Erledigt]

24.04.2020, 20:57

MatheKind

Kettenregel [Erledigt]

Hallo,
ich habe eine Frage zur Kettenregel. Genauer gesagt, will ich die Methode der kleinsten Quadrate anwenden und hierfür brauche ich die Kettenregel.

Ich will folgende Funktion ableiten:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax_i^2 + b - y_i)^2 \end{eqnarray*}$

Die Werte $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ sind ja Daten, die vorliegen.
Mir ist aufgefallen, dass ich unterschiedliche Ergebnisse bekomme, je nach dem, ob ich vorher $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ quadriere und dann ableite oder direkt ableite.

Wenn ich die konkreten $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ -Werte vorher quadriere, dann sieht die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial a} = 2x_i^2(ax_i^2 + b - y_i) \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber die konkreten $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ -Werte nicht vorher quadriere, dann sieht die Ableitung so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial a} = 2*2x_i(ax_i^2 + b - y_i) = 4x_i(ax_i^2 + b - y_i) \end{eqnarray*}$

Nun ist letztere Ausführung falsch, aber ich verstehe leider nicht weshalb.
EDIT: Wie Dopap richtig gestellt hat, handelt es sich um folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} S(a,b):=\sum_{i=1}^n (ax_i^2+b-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand weiterhelfen? smile

Danke im Voraus!
MatheKind

24.04.2020, 21:11

Dopap

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deine "Funktion" besteht aus Konstanten bezüglich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

was gibt es da abzuleiten?

Meinst du so etwas wie $\begin{eqnarray*} S(a,b):=\sum_{i=1}^n (ax_i^2+b-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

24.04.2020, 22:03

MatheKind

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Ja, tut mir leid. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind hier die Variablen.

24.04.2020, 22:59

Leopold

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von MatheKind
Ich will folgende Funktion ableiten:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax_i^2 + b - y_i)^2 \end{eqnarray*}$
...

Wenn ich die konkreten $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ -Werte vorher quadriere,
…

Wenn ich aber die konkreten $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ -Werte nicht vorher quadriere,
...

Mir erschließt sich der Sinn dieser Halbsätze nicht. Da steht $\begin{align*} {x_i}^2 \end{align*}$ , und das ist, wenn nach $\begin{align*} a \end{align*}$ oder $\begin{align*} b \end{align*}$ differenziert wird, als eine Konstante aufzufassen. Da gibt es kein vorher und kein nachher quadrieren, sondern nur $\begin{align*} {x_i}^2 \end{align*}$ .

24.04.2020, 23:10

MatheKind

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von Leopold
Mir erschließt sich der Sinn dieser Halbsätze nicht. Da steht $\begin{align*} {x_i}^2 \end{align*}$ , und das ist, wenn nach $\begin{align*} a \end{align*}$ oder $\begin{align*} b \end{align*}$ differenziert wird, als eine Konstante aufzufassen. Da gibt es kein vorher und kein nachher quadrieren, sondern nur $\begin{align*} {x_i}^2 \end{align*}$ .

Ok, das habe ich mir schon fast gedacht, wollte aber nochmals sicher gehen, danke!
Eine Sache erschließt sich mir jedoch nicht. Bei der Methode der kleinsten Quadrate leitet man ab, um den Fehler anhand einer Fehlerfunktion zu minimieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{S(a,b)}{\partial a} \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{S(a,b)}{\partial b} \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist aber noch gar nicht sicher, ob es sich auch um ein Minimum handelt. Es könnte sich ja auch um ein Maximum handeln.
Meine Frage ist, weshalb diese Methode immer funktioniert. verwirrt

25.04.2020, 00:12

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Dopap
Meinst du so etwas wie $\begin{eqnarray*} S(a,b):=\sum_{i=1}^n (ax_i^2+b-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

Oder eher so etwas wie $\begin{eqnarray*} S(a,b):=\sum_{i=1}^n (ax_i+b-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist also, ob Du nun eine Gerade $\begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}$ oder lieber eine zur y-Achse symmetrische Parabel $\begin{eqnarray*} y=ax^2+b \end{eqnarray*}$ fitten möchtest. Beides ist möglich. Wenn man fittet, gibt es grundsätzlich immer nur ein Minimum an Abweichung. Ein Maximum an Abweichung gibt es nie.

25.04.2020, 00:32

MatheKind

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Oder eher so etwas wie $\begin{eqnarray*} S(a,b):=\sum_{i=1}^n (ax_i+b-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist also, ob Du nun eine Gerade $\begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}$ oder lieber eine zur y-Achse symmetrische Parabel $\begin{eqnarray*} y=ax^2+b \end{eqnarray*}$ fitten möchtest. Beides ist möglich. Wenn man fittet, gibt es grundsätzlich immer nur ein Minimum an Abweichung. Ein Maximum an Abweichung gibt es nie.

Ich will eine Parabel fitten. smile

Also ich habe das auch hinbekommen. Ich habe versucht folgendes Beispiel nachzurechnen, was mir gelungen ist:

https://www.youtube.com/watch?v=MOeIhh5VvxU

Danke, für deine Antwort, aber weshalb gibt es kein Maximum an Abweichung?

25.04.2020, 02:07

Helferlein

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Hast Du Dir die zugehörige Hesse-Matrix einmal angeschaut?

25.04.2020, 09:35

Dopap

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Zitat:

Original von MatheKind
Danke, für deine Antwort, aber weshalb gibt es kein Maximum an Abweichung?

weil die Funktion $\begin{eqnarray*} S(a,b) \end{eqnarray*}$ beliebig groß werden kann.
Nach oben nicht beschränkt
Nach unten aber schon. Die größte untere Schranke ist die Null.

25.04.2020, 10:02

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von MatheKind
Danke, für deine Antwort, aber weshalb gibt es kein Maximum an Abweichung?

Wenn die Beträge von a und b sehr groß sind, wird die Abweichung immer nur noch größer, sobald die Beträge weiter wachsen.

25.04.2020, 15:20

MatheKind

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Danke, für eure Antworten. Ich werde mir mal Gedanken machen.
Schönes WE noch. smile

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