Summe Polynome hoch zwei wieder Polynom hoch 2

24.04.2020, 21:34	Rabellum	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe Polynome hoch zwei wieder Polynom hoch 2 Meine Frage: Guten Abend, ich suche paarweise teierfremde Polynome f, g, h aus K[X]\{0} mit f² + g² = h², bei denen mindestens eines Grad >0 hat. Die Charakteristik von K darf nicht 2 sein. Meine Ideen: Ich habe mittlerweile zig Polynome f, g ausprobiert, aber ich finde dann kein h. Danke schonmal!
24.04.2020, 21:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 +(\sqrt 3 x) ^2 =(2x) ^2 \end{eqnarray}$ Leider nicht teilerfremd.
24.04.2020, 21:59	Rabellum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, Elvis, darauf war ich auch gekommen. Hierbei sind g und h aber nicht teilerfremd. Der höhere Sinn des Ganzen ist, dass es für Exponenten n>2 keine Lösung der Gleichung f^n + g^n = h^n mehr geben darf, für n=2 aber schon
24.04.2020, 22:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=x, g(x)=\frac 1 2 (x^2-1),h(x)=\frac 1 2 (x^2+1) \end{eqnarray}$ Die Idee ist jedenfalls $\begin{eqnarray} f^2=h^2-g^2=(h-g)(h+g) \end{eqnarray}$ und der Ansatz $\begin{eqnarray} h-g=c \end{eqnarray}$ für eine konstante $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ Edit: Woher weiß man denn, dass es für höhere Exponenten nicht geht?
24.04.2020, 22:20	Rabellum	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das sieht vielversprechend aus! In Modular Forms and Fermat's Last Theorem von Cornell/Silverman/Stevens ist der Beweis der Unlösbarkeit für n>2.
24.04.2020, 22:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 +(x^2 - 1/4)^2 =(x^2 +1/4)^2 \end{eqnarray}$
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24.04.2020, 23:00	Rabellum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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