Grenzwert

24.04.2020, 23:03

1234xx

Grenzwert

Hi wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor ?

Bestimmen sie die folgende GRENZWERTE :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} ln(x)*ln(1-x) \end{eqnarray*}$

Wenn man 1 einsetzt Form 0,0

Also L'Hospital =

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} 1/x*1/(1-x) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} -1/x^2*1/(1-x)^2 = \end{eqnarray*}$

Sind die Ableitungen so richtig ?
Aber wieder falsche Form.....

25.04.2020, 01:40

klauss

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RE: Grenzwert
Wenn man L'Hospital benutzt, muß man die Voraussetzung prüfen und den Ausdruck ordentlich hinschreiben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \ln(x)\cdot \ln(1-x) = \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} 0\cdot (-\infty) \end{eqnarray*}$ " (eine ordentliche Darstellung von Anführungszeichen in Latex ist allerdings nicht offenkundig)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln(1-x)}{\left[\ln(x)\right]^{-1} } = \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} \frac{-\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ "

Jetzt kannst Du den ersten Durchgang von L'Hospital starten und überlegen, wie es dann weitergeht.

25.04.2020, 09:45

HAL 9000

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Es geht wohl nur um $\begin{eqnarray*} x\to 1-0 \end{eqnarray*}$ , denn von der anderen Seite kommend ist $\begin{eqnarray*} \ln(1-x) \end{eqnarray*}$ (zumindest im reellen) nicht definiert.

Mit Substitution $\begin{eqnarray*} t=1-x \end{eqnarray*}$ sowie Produktzerlegung folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-0}\ln(x)\ln(1-x) = \lim_{t\to +0}\ln(1-t)\ln(t) = \lim_{t\to +0}\frac{\ln(1-t)}{t}\cdot \lim_{t\to +0}\frac{\ln(t)}{\frac{1}{t}} \end{eqnarray*}$

Die Zerlegung rechts ist berechtigt, da sich durch weitere Rechnung herausstellt, dass beide Teilgrenzwerte existieren.

25.04.2020, 09:48

1234xx

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{. \frac{1}{(1-x)} }{(\frac{1}{x} )^-1} \end{eqnarray*}$

Nochmal ableiten?
Soll ich den nenner hoch holen?

25.04.2020, 09:58

1234xx

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Wir haben die Grenzwerte nie mit Substitution berechnet ? Big Laugh

25.04.2020, 10:01

HAL 9000

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Dann eben so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-0}\ln(x)\ln(1-x) = \lim_{x\to 1-0}\frac{\ln(x)}{1-x}\cdot \lim_{x\to 1-0}\frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{1-x}} \end{eqnarray*}$

Ich hab die Substitution ja nur der geringeren Schreibarbeit wegen getätigt, aber wenn sie als Ausrede vorgeschoben wird, dann lassen wir sie eben weg.

25.04.2020, 10:02

1234xx

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[quote]Original von 1234xx
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{. \frac{1}{(1-x)} }{(\frac{1}{x} )^-1} \end{eqnarray*}$

Soll ich dann den Bruch so aufschreiben wie Klaus sagt ?

25.04.2020, 10:07

HAL 9000

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Zu "soll" sage ich nichts: Es gibt den Vorschlag von klaus, und es gibt den Alternativvorschlag von mir. Welchen du wählst (vielleicht probierst du auch beide durch), bleibt dir überlassen.

Jedenfalls hast du auf klaus' Bruch den L'Hospital nicht korrekt angewandt (der Nenner ist falsch). Mehr sage ich zu dem Weg nicht, war ja nicht mein Vorschlag.

25.04.2020, 11:17

klauss

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RE: Grenzwert
Grenzwerte mit Substitution o. ä. zu berechnen, ist natürlich immer eleganter. Aber diese Aufgabe ist auch ein ganz gutes Beispiel für den Umgang mit L'Hospital. Also leite den Nenner mit Kettenregel ab und betrachte den Bruch nach dem bestmöglichen Sortieren neu.

25.04.2020, 11:29

HAL 9000

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klauss
Grenzwerte mit Substitution o. ä. zu berechnen, ist natürlich immer eleganter.

Die Substitution war unwichtig. Schwerpunkt meines Vorschlags war die anschließende Produktzerlegung in zwei Grenzwerte, welche dafür sorgt, dass die Logarithmen auch wirklich nach dem ersten Differenzieren verschwinden. Augenzwinkern

25.04.2020, 12:52

1234xx

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RE: Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln(1-x)}{\left[\ln(x)\right]^{-1} } =\frac{\frac{1}{1-x} }{-1*(ln(x))^-2 * \frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ "

Nochmal ableiten oder wie ?

25.04.2020, 13:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von 1234xx
Bestimmen sie die folgende GRENZWERTE :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} ln(x)*ln(1-x) \end{eqnarray*}$

Also diesmal ohne Substitution aber mit dem Trick von HAL.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \ln(x)\ln(1-x)=\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{1-x} \cdot \frac{\ln(1-x)}{(1-x)^{-1}}=\lim_{x \to 1} \frac{x^{-1}}{(-1)} \cdot \frac{-(1-x)^{-1}}{(1-x)^{-2}}=\lim_{x \to 1} (1-x) =0 \end{eqnarray*}$

25.04.2020, 15:07

klauss

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von 1234xx
Nochmal ableiten oder wie ?

Du hast jetzt offenbar die innere Ableitung (-1) im Zähler vergessen/unterschlagen.
Dann solltest Du vor einer weiteren Entscheidung den entstandenen Bruch bestmöglich aufräumen, was noch nicht geschehen ist.
Ob nochmal abgeleitet werden soll/muß/darf, hängt davon ab, ob es nötig ist, und wenn ja, ob wieder die Voraussetzung für L'Hospital erfüllt ist. Die ist schon bei jedem Durchgang neu zu prüfen.

Insofern scheint es mir hier lehrreich zu sein, die Aufgabe ohne Tricks durchzuziehen, denn auch wenn L'Hospital nicht immer angebracht ist, muß man ihn zumindest beherrschen, wenn seine Zeit gekommen ist.

25.04.2020, 18:22

1234xx

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Peile den Fehler gerade nicht ?

25.04.2020, 18:35

klauss

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Soll heißen:
Nach einmal L'Hospital steht da

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \dfrac{-\frac{1}{1-x} }{-\left[\ln(x)\right]^{-2}\cdot \frac{1}{x} } =\lim_{x \to 1} \frac{\left[\ln(x)\right]^{2}\cdot x}{1-x} \end{eqnarray*}$

Was nu?

25.04.2020, 18:40

1234xx

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[quote]Original von klauss
Soll heißen:
Nach einmal L'Hospital steht da

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \dfrac{-\frac{1}{1-x} }{-\left[\ln(x)\right]^{-2}\cdot \frac{1}{x} } =\lim_{x \to 1} \frac{\left[\ln(x)\right]^{2}\cdot x}{1-x}= (2*ln( x)+(ln(x))^2/(1) \end{eqnarray*}$

Das bekomme ich jetzt nach dem ableiten
0/1 = 0 richtig Ergebnis ?

25.04.2020, 19:13

klauss

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Ich weiß nicht, ob Du meinen Hinweis zur Prüfung der Voraussetzung des 2. L'Hospital stillschweigend beachtet hast. Dort liegt nämlich nun der Fall
" $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ "
vor.
Außerdem lautet die Ableitung des Nenners jetzt $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , was am Ergebnis nichts mehr ändert. Der Grenzwert ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Übrigens fällt mir auf, dass es im 2. Schritt auch so gegangen wäre:

$\begin{eqnarray*} v=1-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1-v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln^{2}(x)\cdot x}{1-x}=\lim_{v \to 0} \frac{\ln^{2}\left[1+(-v)\right] }{v\cdot (-1)\cdot (-v)}\left(v-v^{2} \right) =1\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre zwar nicht der Logarithmus nach dem ersten Differenzieren verschwunden, aber dafür das zweite Differenzieren.

25.04.2020, 23:11

Ulrich Ruhnau

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Danke für den Tipp Klaus! Ich habe den Fehler schon behoben. Ich bin mir nicht sicher, ob Dein Rechenweg nicht viel komplizierter ist als meiner. Auf jeden Fall haben wir alle etwas gelernt. Freude

25.04.2020, 23:34

1234xx

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Wieso diese minus Leute ? Das verwirrt mich

26.04.2020, 11:15

Ulrich Ruhnau

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Also diesmal ohne Substitution aber mit dem Trick von HAL.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \ln(x)\ln(1-x)=\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{1-x} \cdot \frac{\ln(1-x)}{(1-x)^{-1}}=\lim_{x \to 1} \frac{x^{-1}}{(-1)} \cdot \frac{-(1-x)^{-1}}{(1-x)^{-2}}=\lim_{x \to 1} (1-x) =0 \end{eqnarray*}$

Hallo 1234xx,

ich weiß nicht, welches Minuszeichen Du meinst. Aber wäre meine Rechnung nicht völlig ausreichend um Deine ursprüngliche Frage zu beantworten? Was hältst Du von dem Trick, einfach die Logrithmen durch $\begin{eqnarray*} 1 = (1-x)(1-x)^{-1} \end{eqnarray*}$ zu teilen und anschließend die L'Hospital-Regel auf beide Brüche getrennt anzuwenden?

26.04.2020, 11:21

1234xx

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Zitat:

Original von 1234xx
[quote]Original von klauss
Soll heißen:
Nach einmal L'Hospital steht da

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \dfrac{-\frac{1}{1-x} }{-\left[\ln(x)\right]^{-2}\cdot \frac{1}{x} } =\lim_{x \to 1} \frac{\left[\ln(x)\right]^{2}\cdot x}{1-x}= (2*ln( x)+(ln(x))^2/(1) \end{eqnarray*}$

Das bekomme ich jetzt nach dem ableiten
0/1 = 0 richtig Ergebnis ?

Waren meine Ableitungen aber auch richtig ?
Also dieser obere Weg ?

26.04.2020, 11:36

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von klauss

$\begin{eqnarray*} v=1-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1-v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln^{2}(x)\cdot x}{1-x}=\lim_{v \to 0} \frac{\ln^{2}\left[1+(-v)\right] }{v\cdot (-1)\cdot (-v)}\left(v-v^{2} \right) =1\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Diesen Ansatz würde ich verwerfen, weil er kompliziert und für mich nicht nachvollziehbar ist. Da ist HALs Vorschlag schon viel besser gewesen. Und ich habe es geschafft, die Substitutionen zu umgehen, die HAL in seiner Rechnung bevorzugt hatte. Warum nimmst du nicht meine Lösung an?
Sie ist glatt und übersichtlich. Oder hast Du dazu noch Fragen?

26.04.2020, 12:02

1234xx

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Ja akzeptiere deine Lösung Big Laugh

Aber schon schlau gemacht von euch allen Big Laugh

Selbst drauf zu kommen ist es nicht einfach

26.04.2020, 15:27

klauss

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Diesen Ansatz würde ich verwerfen, weil er kompliziert und für mich nicht nachvollziehbar ist.

Der Ansatz ist eigentlich gar nicht kompliziert. Ich habe nur Gebrauch gemacht von dem bekannten
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$
Da der Logarithmus hier quadratisch vorkommt, war der Bruch entsprechend zu erweitern und die überschüssigen Faktoren habe ich in die Klammer gepackt.
Ich habe nur nicht alle Zwischenschritte hingeschrieben.

@1234xx:
Du hast mehrmals beim Ableiten Minuszeichen weggelassen. Darauf solltest Du achten, vor allem bei Benutzung der Kettenregel.

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