Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen

25.04.2020, 15:20	lionsbook7	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Funktion gegeben: f(x) = x^3-3x^2 Jetzt soll ich am Graphen von f´begründen, dass der Graph von f genau einen Hoch, einen Tief- und einen Wendepunkt hat und deren Koordinaten bestimmen. Die zweite und dritte Ableitung darf ich nicht verwenden. Meine Ideen: Der Hoch- und Tiefpunkt lassen sich, soweit ich weiß, über die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen. Für den Wendepunkt muss die Steigung am stärksten sein, das habe ich auch verstanden, aber weiter komme ich nicht. Wenn man sich den Wendepunkt anschaut, ist es schon auffällig, dass er genau zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt liegt, aber das kann man doch so nicht verallgemeinern, oder? Schließlich stimmt das bei anderen Funktionen auch nicht. Dass es nur einen Wendepunkt gibt, liegt vermutlich daran, dass wir auch nur einen Hoch- und Tiefpunkt haben?
25.04.2020, 15:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen Wenn Dir der Graph der Ableitungsfunktion gegeben ist, sollst Du anwenden: - An Extremstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Art des Vorzeichenwechsels bestimmt über die Art des Extremums. - Wendestellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind Extremstellen von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ . Diese Stellen kannst Du an einem sauber beschrifteten Graphen hier gut ablesen und dann in $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ einsetzen.
26.04.2020, 10:21	lionsbook7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen Vielen, vielen Dank für die Antwort! Nur das mit dem Wendepunkt verstehe ich noch nicht ganz. Die Ableitung der Funktion lautet: 3x^2-6x, also ist der Scheitelpunkt S (1 I -3). Der Wendepunkt von f liegt aber bei W (1 I -2). Was wäre denn bei einer Parabel eine andere Extremstelle als der Scheitelpunkt?
26.04.2020, 12:56	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen Ist Schülern auch häufig nicht bewußt: Es ist zu unterscheiden zwischen Stellen und Punkten. Stelle bezieht sich i. d. R. nur auf den x-Wert, ein Punkt hat zwei Koordinaten x und y. Daher habe ich nur von Wendestelle gesprochen. Die stimmt offenbar überein mit der Extremstelle von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ . Der y-Wert der Ableitung an der Scheitelstelle gibt die Steigung der Funktion im Wendepunkt an. Über den y-Wert der Funktion im Wendepunkt können wir allein aus der Ableitungsfunktion nichts sagen, da alle Funktionen $\begin{eqnarray} x^{3}-3x^{2}+C \end{eqnarray}$ die Ableitung $\begin{eqnarray} 3x^{2}-6x \end{eqnarray}$ haben.
27.04.2020, 10:21	lionsbook7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt ohne zweite und dritte Ableitung bestimmen Wie peinlich, genau über die Verwechslung von Punkten und Stellen rege ich mich immer auf und jetzt mache ich es auch noch selbst...vielen Dank für den Hinweis! Jetzt frage ich mich aber noch, wieso die Extremstelle der Wendestelle entspricht. Also ja, vorher fällt der Wert der Steigung der Ausgangsfunktion und danach steigt er wieder, es muss sich also in irgendeiner Form um eine Wendestelle handeln, aber steht nicht immer überall, dass die Steigung am Wendepunkt am größten ist? Und da die erste Ableitung der Steigung der Ausgangsfunktion entspricht, ist die Steigung an dieser Stelle doch am kleinsten, oder? In meiner Vorstellung würde da eine gespiegelte Parable irgendwie mehr Sinn ergeben.
27.04.2020, 11:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
am größten ist hier mehr umgangssprachlich zu sehen. Der maximale Anstieg auf einer Straße im Gebirge bleibt auch dann umgangssprachlich maximal wenn man den Weg in der anderen Richtung befährt obwohl hier rechnerisch ein Minimum vorliegt. Am kleinsten hingegen ist der Anstieg der Strasse im Flachstück zwischen 2 heftigen Anstiegen unabhängig von der Fahrtrichtung. Kurzum: Umgangssprachlich es ist immer der Betrag der Steigung gemeint. Es empfiehlt sich von relativen Extrema der Steigung und in deren Folge von Wendepunkten zu sprechen.
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27.04.2020, 14:17	lionsbook7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen, vielen Dank. Ihr habt mir echt weitergeholfen!
27.04.2020, 16:12	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle, zwecks Abstraktion den Begriff „Steigung“ getrennt von seinem umgangssprachlichen Gebrauch als reinen Zahlenwert der Ableitung an einer best. Stelle zu verstehen. Man läuft auf dem Graphen von Minus nach Plus. Z. B. $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+x \end{eqnarray}$ hat im Wendepunkt seine kleinste Steigung. $\begin{eqnarray} f(x)=-x^{3}-x \end{eqnarray}$ hat im Wendepunkt seine größte Steigung (das schwächste Gefälle).

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