Zeigen, dass eine Folge größer als die andere ist

25.04.2020, 16:01

ninakuup21

Zeigen, dass eine Folge größer als die andere ist

Für eine Übung muss ich die Konvergenz einer Reihe zeigen, um das zu machen wollte ich die Majorantenkriterium benutzen dafür muss ich zeigen dass die folgende Ungleichung gilt.

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{(n+1)^2} \geq \frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+5} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht Induktion zu benutzen aber es hat leider nicht geklappt. Ich bitte um Tipps.

25.04.2020, 16:54

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zeigen dass eine Folge größer als die Andere ist
Ich würde die Gleichung umstellen.

$\begin{eqnarray*} 7(3n^4-4n+5) \ge (n+1)^2(n^2+n+5) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch ausmultiplizieren und schauen, was die dominanten Terme machen!

Dann sollte man vielleicht ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ angeben können, sodaß für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung gilt.
Mehr braucht man nicht für die Konvergenz.

25.04.2020, 17:10

ninakuup21

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zeigen dass eine Folge größer als die Andere ist
Danke schön für die große Hilfe! smile

25.04.2020, 17:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zeigen dass eine Folge größer als die Andere ist

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich würde die Gleichung umstellen.

$\begin{eqnarray*} 7(3n^4-4n+5) \ge (n+1)^2(n^2+n+5) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ungefährlich. Man sollte sich schon überlegen, daß die Nenner, mit denen man durchmultipliziert, nur positiver Werte fähig sind. Im einen Fall ist das offensichtlich und im andern einen kleinen Gedanken wert.

25.04.2020, 17:24

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zeigen dass eine Folge größer als die Andere ist

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} 7(3n^4-4n+5) \ge (n+1)^2(n^2+n+5) \end{eqnarray*}$

Hier sollte man wohl zumindest noch dazu angeben, ab welchem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (3n^4-4n+5)>0 \end{eqnarray*}$ ist, damit das Ungleichheitszeichen unverändert bleibt. (*)

Alternativ könnte man $\begin{eqnarray*} \frac{7\left(n+1\right)^{2} }{\left(n+1\right)^{4} } \geq \frac{n^{2}+n+5 }{3n^{4}-4n+5 } \end{eqnarray*}$ untersuchen. Dann ist der linke Zähler schon mal größer als der rechte.
Die Ungleichung gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \left(n+1\right)^{4}\leq 3n^4-4n+5 \end{eqnarray*}$

(*) Inzwischen von Leopold angemerkt, aber von mir dringelassen.

Neue Frage »

Antworten »

Zeigen, dass eine Folge größer als die andere ist

Verwandte Themen