Raum quadratsummierten Folgen

25.04.2020, 21:12

Nerdno1

Raum quadratsummierten Folgen

Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand bei den Teilaufgaben b) und c) helfen?
Aufgabe:
Wir betrachten (l2, II.II2) und den Operator T1 : l2 ? l2 definiert durch T1 ((x1, x2, . . . )) =(x1, x2/2 , x3/3 , ..)
a) Geben Sie einen inversen Operator an. Also einen Operator I, sodass I(T1(x)) = x für alle x aus l2 (d.h. I ist eine Linksinverse) und T1(I(x)) = x für alle x aus l2, die im Definitionsbereich von I liegen (d.h. I ist eine Rechtsinverse).
b) Zeigen Sie, dass dieser inverse Operator nicht stetig ist.
c) Geben Sie einen stetigen linearen Operator T2 : l2 ? l2 an, der keine stetige lineare Linksinverse besitzt, jedoch eine stetige lineare Rechtsinverse.
(Hinweis: l2 quadratnummerierten Folgenraum: l2 := {x = (x1,x2,...);summe k=1 bis unendlich von IxkI^2 < unendlich}

Meine Ideen:
zu b) müsste man nicht eine Folge aus l2 wählen und dann das Felgenkriterium verwenden, um die Unstetigkeit zu folgern?
zu c) dachte an T2(x_n)=(0,x1,x2,...) jedoch ohne erfolg

25.04.2020, 22:13

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
b) zeige dass der Operator unbeschränkt ist
c) Versuche den Linksshiftoperator. Der Rechtsshift, den du benutzt hast, ist nicht surjektiv, kann also gar keine Rechtsinverse haben

25.04.2020, 23:41

Nerdno1

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
danke für die Hinweise:
zu b):
aus a) habe ich die Inverse berechnet: T^(-1): l2 -> l2, T^(-1)(x)=(x1,2x2,3x3,...)
Wenn T^(-1) beschränkt wäre, dann müsste es ja ein c>0 geben: für alle x aus l2:
ll T^(-1)(x) ll<=c * ll x ll, so ein c gibt es aber nicht denn:
ll T^(-1)(x) ll^2=ll T^(-1)(x1,x2,...) ll^2=ll (x1, 2x2, 3x3,...) ll = x1^2+4x2^2+9x3^2+...
und das kann nicht <= c*(x1^2+x^2+...), denn es ist größer 0

Würde das so stimmen?

zu c): also wäre mein neuer operator T2 der links-shift-operator: T2: l2->l2 gegegeben durch T^2(x1,x2, ...)=(x2,x3,...). dann müsste ich noch Lineralität und irgendwie noch die Stetigkeit von T2 nachweisen.
dann zzg.1. rechtsinverse von T2 linear 2. rechtsinverse von T2 stetig <=> rechtsinverse beschränkt
und linksinverse für unstetig durch unbeschränktheit, wie bei b) würde ich das angehen?

26.04.2020, 00:36

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
b)

Zitat:

denn es ist größer 0

und was soll daraus folgen? Ich verstehe dein Argument nicht.
c)der Linksshift ist nicht injektiv, kann also keine Linksinverse haben.

26.04.2020, 09:39

Nerdno1

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
b) neuer Ansatz:
für die Beschränktheit müsste ja gelten:
ll T^-1(x) ll <= c*llxll für alle x aus l2
ich müsste also eine Folge (xn) aus l2 finden, sodass llT^-1(xn)ll nicht beschränkt ist? wie würde dann so eine folge aussehen?
aber hängt nicht die linke Seite aus obiger Ungleichung immer von n ab, sodass man kein festes c finden kann, dass die Beschränktheit für alle xn erfüllt?

26.04.2020, 10:32

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RE: Raum quadratsummierten Folgen

Zitat:

Original von Nerdno1
aber hängt nicht die linke Seite aus obiger Ungleichung immer von n ab, sodass man kein festes c finden kann, dass die Beschränktheit für alle xn erfüllt?

llT^-1(xn)ll wird von n abhängen, kann aber doch trotzdem beschränkt sein. Bei jeder nicht konstanten beschränkten Folge ist das auch der Fall. Nimm dir den beschränkten Operator aus Teill a) und schau dir die Sache dort an.

Zitat:

Original von Nerdno1
b) neuer Ansatz:
für die Beschränktheit müsste ja gelten:
ll T^-1(x) ll <= c*llxll für alle x aus l2

26.04.2020, 11:31

Nerno1

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RE: Raum quadratsummierten Folgen

Zitat:

Original von Nerdno1
b) neuer Ansatz:
für die Beschränktheit müsste ja gelten:
ll T^-1(x) ll <= c*llxll für alle x aus l2

Man kann gleich nach Einheitsvektoren aus $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ suchen, also solchen mit $\begin{eqnarray*} \|x\|=1 \end{eqnarray*}$ . Ein guter Startpunkt sind die Verwandten der kanonischen Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^{(j)}=(\delta _{i,j})=(0,\dots,0,1,0,\dots,) \end{eqnarray*}$ , also eine 1 an der Stelle j und sonst Null[/quote]

ok, also:
ll T^-1(dij) ll = ll (0,...,0,j*1,0,...,0) ll = wurzel aus betrag von j^2 = l j l
dass soll jetzt nicht kleiner gleich sein als c * ll dij ll für ein c>0, damit Unbeschränktheit gilt.
c * ll dij ll = c * 1 = c
jetzt müsste ich ein argument dafür finden, dass j nicht kleiner gleich c sein kann. c soll ja nur größer null sein und j läuft doch bis n, also warum soll es kein c existieren? oder läuft n bis unendlich? die Schlussfolgerung zur Unbeschränktheit läutet mir nicht ein

26.04.2020, 11:46

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \|T^{-1}(\delta_{ij})\|=j \end{eqnarray*}$ . Also gibt es keine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \|T^{-1}(\delta_{ij})\|\leq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ sein könnte.
$\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist in der Tat unbeschränkt, es sind abzählbar unendlich viele Verwandte der kanonsichen Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$

26.04.2020, 13:11

nerdno1

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RE: Raum quadratsummierten Folgen
stimmt, danke für die hilfe

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