Tangens Umwandlung

25.04.2020, 21:37

Ziff

Tangens Umwandlung

Meine Frage:
Wie kommt man darauf? $\begin{eqnarray*} tan(\frac{x}{2})=\frac{sin(x)}{cos(x)+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
?

25.04.2020, 21:46

shower

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Substituiere doch $\begin{eqnarray*} x=2\alpha \end{eqnarray*}$ und nutze die Doppelwinkelfunktionen.

25.04.2020, 21:49

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Wieso substituieren? Einfach $\begin{eqnarray*} x=2\frac x 2 \end{eqnarray*}$ benutzen.

25.04.2020, 22:28

Ziff

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Komme mit beiden Tipps nicht ganz weiter. Könnte ich vielleicht noch einen weiteren Denkanstoß erhalten?

25.04.2020, 22:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Tangens Umwandlung
Gehen wir einfach mal von der Grundregel aus, die man auswendig können sollte:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta +\cos\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}$

Wir brauchen nur die zweite Gleichung.

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac x2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=\frac x2 \end{eqnarray*}$ wird daraus:

$\begin{eqnarray*} \cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2 \end{eqnarray*}$

Damit generieren wir jeweils eine Formel für $\begin{eqnarray*} \sin\frac x2 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \cos\frac x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos x=1-2\sin^2\frac x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\sin^2\frac x2=1-\cos x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin \frac x2=\sqrt{\frac{1-\cos x}2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos x = 2\cos^2\frac x2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\cos x =2\cos^2\frac x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1+\cos x}2}=\cos\frac x2 \end{eqnarray*}$

Damit läßt sich der Tangens zuammensetzen:

$\begin{eqnarray*} \tan\frac x2=\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)^2}}=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{1+\cos x}=\frac{\sin x}{1+\cos x} \end{eqnarray*}$

26.04.2020, 02:04

Ziff

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Vielen Dank hat sehr geholfen. Wissen Sie solche Herleitung einfach oder muss da auch ein Experte erstmal überlegen?

26.04.2020, 08:09

Leopold

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@ Ulrich Ruhnau

So kann man diesen Beweis nicht führen. Du ziehst Wurzeln und achtest an keiner Stelle auf das Vorzeichen. Reelle Wurzeln liefern keine negativen Werte, Sinus und Cosinus aber schon. Diese Wurzel-Formeln können daher global nicht stimmen. Daß sich am Schluß eine richtige Formel ergibt, rechtfertigt das falsche Beweisverfahren nicht.

Verzichten wir doch auf das Wurzelziehen. Eigentlich braucht man nur

$\begin{align*} 1 + \cos(x) = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}$ (bei dir hier ein Schreibfehler) und $\begin{align*} \sin(x) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}$

Dann rechnet man

$\begin{align*} \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right)}{2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\cos \left( \frac{x}{2} \right)} = \tan \left( \frac{x}{2} \right) \end{align*}$

26.04.2020, 08:42

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Ziff
Vielen Dank hat sehr geholfen. Wissen Sie solche Herleitung einfach oder muss da auch ein Experte erstmal überlegen?

Ich bin nicht der Experte. Der Experte heißt Leopold. Natürlich habe ich überlegt, aber wohl nicht gut genug. Ich wollte mir die Sache nur einfach machen und bin vom Intervall $\begin{eqnarray*} x \in \left[0,\frac{\pi}2\right] \end{eqnarray*}$ ausgegangen. Die meiste Arbeit war das Aufsetzen der Formeln in Latex. Wer viel rechnet, der macht auch Fehler. Und durch Fehler lernt man. Darum mache ich das.

Die anschließende Diskussion wurde hierhin ausgelagert:
Unsichere Helfer
Steffen

26.04.2020, 10:31

shower

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Zitat:

Wieso substituieren?

Weil ich es so intuitiver und angenehmer fand.
Oder ist es falsch ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x=2\frac x 2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar was du meinst, aber kann die Schreibweise nicht zu Missverständnissen führen, wenn man an gemischte Zahlen denkt ?

26.04.2020, 10:40

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@shower: Falsch ist es nicht, ich finde es einfach überflüssig. Wenn es für dich angenehmer ist, dann mach es so.
Hm, ja, gemischte Zahlen...die gehören m.E. gänzlich auf den Müll.

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