Unterschiedliche Zugänge zur Konkavität beim AWP

26.04.2020, 10:42	clemensum	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschiedliche Zugänge zur Konkavität beim AWP Meine Frage: Betrachte das Cauchy-Problem $\begin{eqnarray} y'=\sin(y),y(0)=y_0\in \mathbb{R}. \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist: . (1) eine globale Lösung $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ existiert in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist monoton (3) $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist beschränkt. (4) $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ konkav $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow y_0= z\pi/2 \end{eqnarray}$ (5) $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow y_0= z\pi/2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z\in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu (1): Sei $\begin{eqnarray} f(y):=\sin(y). \end{eqnarray}$ Wegen der Stetigkeit der rechten Seite existiert mindestens eine Lösung der DGL. Da $\begin{eqnarray} y'=\sin(y) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \|\frac{dy}{dt}\| = \|\sin(y) \| \le1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sin(y) \end{eqnarray}$ ist L-stetig. Wegen dieser L-Stetigkeit ist eine mögliche Lösung der DGL auch eindeutig durch den Anfangswert $\begin{eqnarray} (0,y_0) \end{eqnarray}$ bestimmt. Zu (2): Es ist $\begin{eqnarray} y'=0 \Leftrightarrow y=k\pi. \end{eqnarray}$ Wir unterscheiden zwei Fälle. I $\begin{eqnarray} y_0 >k\pi \Rightarrow y>k\pi, \end{eqnarray}$ denn sonst würde wegen $\begin{eqnarray} y\equiv k\pi \end{eqnarray}$ folgen, dass sich die Lösungen im Punkt $\begin{eqnarray} (0,k\pi) \end{eqnarray}$ überkreuzen würden, ein Widerspruch zum Satz von Piccard-Lindelöf. Wegen $\begin{eqnarray} y'=\sin(y)>0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y\in]k\pi, (k+1)\pi[ \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ dort streng monoton wachsend. II Sei $\begin{eqnarray} y_0<k\pi. \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} y\in ]k\pi, (k-1)\pi[. \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ monoton fallend, weil der Sinus dort kleiner als 0 ist. Die Grenzen können wiederum wegen der Eindeutigkeit in Piccard Lindelöf nicht überkreuzt werden. Kombiniert man I und II, so folgt, dass y entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist oder konstant ist. In allen Fällen ist $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ monoton. Zu (3) . Folgt im Wesentlichen aus (2), denn dort sind ja die oberen und unteren Grenzen für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ angegeben. Zu (4). Hier wird es jetzt eigenartig. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} y''\le 0 \end{eqnarray}$ ist. Meine Strategie ist, dass ich indirekt vorgehe. Ich starte bei $\begin{eqnarray} y_0\neq z\pi/2 \end{eqnarray}$ und zeige dann, dass y''>0 ist. Also sei $\begin{eqnarray} y_0\neq z\pi/2. \end{eqnarray}$ Wir unterscheiden wieder zwei Fälle. I $\begin{eqnarray} y_0>z\pi/2.\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y\in ]z\pi/2,(z+2)\pi/2[. \end{eqnarray}$ Und nun kommt das Problem; abhängig von der Parität von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , ist der Sinus in dem Intervall entweder positiv oder negativ. Deswegen scheint es nicht möglich zu sein, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} y''=\frac{sin(2y)}/{2}>0 \end{eqnarray}$ ist. Kann mir jemand weiterhelfen in der Frage wie man im Punkt (4) die Konkavität zeigen kann? Es ist wirklich eigenartig. Wäre für Hilfe dankbar!

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