Endliche Gruppe Potenzen

26.04.2020, 10:55	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppe Potenzen Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine endliche Gruppe und sei $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ggT(n, ord(G))=1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass es zu jedem Element $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ ein eindeutig bestimmtes Element $\begin{eqnarray} b \in G \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} b^n=a \end{eqnarray}$ . Diese Aufgabe macht eigentlich keinen komplizierten Eindruck, deshalb ärgert es mich, dass ich sie nicht lösen kann. Für den Fall $\begin{eqnarray} a=e \end{eqnarray}$ ist die Aussage klar, denn dann muss auch $\begin{eqnarray} b=e \end{eqnarray}$ sein, da ja nach dem Satz von Lagrange die Ordnung eines Elements die Gruppenordnung teilen muss, hier aber $\begin{eqnarray} ggT(n, ord(G))=1 \end{eqnarray}$ ist. Sei also $\begin{eqnarray} a \neq e \end{eqnarray}$ . Es wäre ja äquivalent zur Aussage, zu zeigen, dass alle $\begin{eqnarray} b^n \end{eqnarray}$ verschiedene Werte annehmen, oder? Ich komme einfach nicht drauf, wie ich nun weitermache. Mir fehlt bei solchen Aufgaben ohne "Kochrezept" oft die Idee. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie man da weiterkommt?
26.04.2020, 11:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Gruppe Potenzen Die Idee mit den verschiednen Werten finde ich gut. Formal betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray} G\to G, b\mapsto b^n \end{eqnarray}$ . Ist sie injektiv, dann auch surjektiv und die Behauptung ist gezeigt. Jetzt zeige die Injektivität. Die Zutaten hast du schon alle aufgeschrieben Edit: Ist vielleicht doch nicht so einfach, weil G nicht abelsch sein muss.
26.04.2020, 13:09	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Gruppe Potenzen Ja, ich habe schon versucht zu zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} b_1^n=b_2^n \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} b_1=b_2 \end{eqnarray}$ . Nach längerem Hin und Her kam ich auf das Lemma von Bezout: Es gibt $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} 1=s \cdot n+t \cdot \|G\| \end{eqnarray}$ . Kann ich die Aussage dann nicht so zeigen: $\begin{eqnarray} b_1=b_1^{s\cdot n+ t \cdot \|G\|}=b_1^{s \cdot n} \cdot b_1^{ t \cdot \|G\|}=(b_1^n)^s \cdot (b_1^{\|G\|})^{t}=(b_1^n)^s \cdot e = (b_1^n)^s=(b_2^n)^s =...=b_2^{s\cdot n+ t \cdot \|G\|}=b_2 \end{eqnarray}$ Kann ich das so machen? Diese Potenzgesetze müssten doch in Gruppen gelten, oder?
26.04.2020, 13:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Gruppe Potenzen Das gefällt mir
26.04.2020, 15:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein sehr schöner Beweis, und man bekommt so nicht nur die Eindeutigkeit sondern auch die Existenz einer Lösung. $\begin{eqnarray} a=a^1 =a^{sn+t\|G\|} =(a^s) ^n \end{eqnarray}$

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