Differentialgleichung

26.04.2020, 11:35

dgl3

Differentialgleichung

Guten Morgen ,

Finden Sie durch zweimaliges Integrieren alle Lösungen u(x, y) zur Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} ua_{xy} = u \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären was ich hier genau machen muss ?

26.04.2020, 12:15

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von dgl3
Finden Sie durch zweimaliges Integrieren alle Lösungen u(x, y) zur Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} ua_{xy} = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{xy} \end{eqnarray*}$ soll wahrscheinlich heißen: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2a(x,y)}{\partial x\,\partial y} \end{eqnarray*}$

Die Funktion a wird nach x und nach y partiell abgeleitet. Dabei ist die Reihenfolge der Ableitung egal. Bei Deiner DGL $\begin{eqnarray*} ua_{xy}=u \end{eqnarray*}$ würde ich durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ teilen und hätte $\begin{eqnarray*} a_{xy}=1 \end{eqnarray*}$ . Integriert über x hätte man dann $\begin{eqnarray*} a_y=x+f(y) \end{eqnarray*}$ . Weiter integriert über y hätte man dann $\begin{eqnarray*} a(x,y)=xy+F(y) + G(x) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f, F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Funktionen sind.

Die Geschichte mit dem $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ wundert mich. Ich halte es für möglich, daß die DGL ganz anders lautet.
Nehmen wir an, sie würde $\begin{eqnarray*} u_{xy} = a \end{eqnarray*}$ lauten, wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist.

Dann wäre in Analogie zu oben $\begin{eqnarray*} u(x,y)= axy+F(y)+G(x) \end{eqnarray*}$ eine Lösung.

Noch spannender wäre die Frage, wie man die Gleichung $\begin{eqnarray*} u_{xy}=au \end{eqnarray*}$ löst.

Aber jetzt solltest Du mal überprüfen, wie die DGL wirklich lautet. geschockt

26.04.2020, 12:28

dgl3

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von dgl3
Guten Morgen ,

Finden Sie durch zweimaliges Integrieren alle Lösungen u(x, y) zur Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} u_{xy} = u \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären was ich hier genau machen muss ?

Hatte mich verschrieben die DGL hat kein a Big Laugh

Würde die Partielle Ableitung so lauten :

$\begin{eqnarray*} u_{x} = u*x+F(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{x,y} = u*x*y+F(x)*G(y) \end{eqnarray*}$

Schreibt man das Formal auch so?

Das war es schon ? Big Laugh

26.04.2020, 15:17

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von dgl3
Finden Sie durch zweimaliges Integrieren alle Lösungen u(x, y) zur Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} u_{xy} = u \end{eqnarray*}$
Das war es schon ? Big Laugh

Nein! Was Du als Lösung vorgeschlagen hast, löst unser Problem keineswegs.
Ich würde hier mit einem Separationsansatz arbeiten.

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=f(x)\cdot g(y) \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} u_{xy}=u \end{eqnarray*}$ wird dann $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2(f(x)\,g(y))}{\partial x\,\partial y}=f(x)\,g(y) \end{eqnarray*}$

Diese beiden Ableitungen würde ich einfach ausführen, sodaß man für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ getrennte DGLs bekommt.

Mache das mal und dann sehen wir weiter! Freude

26.04.2020, 15:38

dgl3

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wie soll ich die Ableitungen ausführen? geschockt

Bin verwirrt

26.04.2020, 17:12

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2(f(x)\,g(y))}{\partial x\,\partial y}=f(x)\,g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}f_x(x)g(y)=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x(x)g_y(y)=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f_x(x)}{f(x)}\cdot \frac{g_y(y)}{g(y)}=1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \frac{f_x(x)}{f(x)}=c \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{g_y(y)}{g(y)}=\frac 1c \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} c\ne0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist.

dann gilt z.B. für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd \ln(f(x))}{\dd x}=c \end{eqnarray*}$

Ähnliches gilt für $\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ . Ab hier kannst Du allein weitermachen.

26.04.2020, 17:39

dgl3

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Warum wurde die ganze Gleichung =1 gesetzt?

Und wie kommst du auf 1/c?
Woher kommt plötzlich das ln her ? Big Laugh

26.04.2020, 22:53

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von dgl3
Warum wurde die ganze Gleichung =1 gesetzt?

Ich habe nur auf beiden Seiten durch $\begin{eqnarray*} f(x)\,g(x) \end{eqnarray*}$ geteilt.

Zitat:

Und wie kommst du auf 1/c?

c ist eine Abkürzung für einen Wert, der weder von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt.

Zitat:

Woher kommt plötzlich das ln her ? Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd \ln(f(x))}{\dd x}=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f_x(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$

26.04.2020, 22:59

dgl3

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Oh man das ist so kompliziert .

Aber wie kommst du wenn du f(x) /g(x) teilst auf das ganze ?

26.04.2020, 23:14

Ulrich Ruhnau

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Schaue Dir doch mal die Kettenregel an! Wie würdest Du $\begin{eqnarray*} \ln(1-x^2) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten?

26.04.2020, 23:24

dgl3

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-2x*ln(1-x^2)*1/(1-x^2)

So würde ich es machen?

27.04.2020, 00:38

Ulrich Ruhnau

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Wenn Du den ln-Term noch weglassen würdest, wäre Deine Antwort richtig.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd \ln(1-x^2)}{\dd x}=\frac{-2x}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Im Nenner steht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1-x^2 \end{eqnarray*}$ und im Zähler ihre Ableitung. Darauf wollte ich hinaus, um das Vorhergehende klar zu machen.

27.04.2020, 01:44

dgl3

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Für y würde das gleiche stehen nur mit fy.... ?

27.04.2020, 07:32

Ulrich Ruhnau

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Ja, schreib doch mal hin was dort stehen müßte und was Du bis jetzt gelöst hast!

27.04.2020, 23:11

dgl3

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RE: Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2(f(x)\,g(y))}{\partial x\,\partial y}=f(x)\,g(y) \end{eqnarray*}$
[/quote]
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}f_x(x)g(y)=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x)g_y(y)=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f_y(x)}{f(x)}\cdot \frac{g_y(y)}{g(y)}=1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \frac{f_y(x)}{f(x)}=c \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{g_y(y)}{g(y)}=\frac 1c \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} c\ne0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist.

Ich hätte es einfach bei dem anderen Fall so umgedreht ?

Bin mir nicht sicher ob man statt gy(y) = gx(y) nimmt ?

28.04.2020, 11:46

dgl3

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Hat jemand noch tipps ?

28.04.2020, 14:00

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Sei $\begin{eqnarray*} \frac{f_x(x)}{f(x)}=c \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{g_y(y)}{g(y)}=\frac 1c \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} c\ne0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist.

Diese beiden kleinen Diffentialgleichungen wirst Du doch wohl schaffen oder ?

28.04.2020, 16:22

dgl3

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Ich bin ehrlich gesagt total überfordert mit dieser Aufgabe .
Bin Ehrlich

Ich verstsehe deine Schritte durch deine Erklärung , aber was ich jetzt genau machen muss ?
Keine Ahnung

28.04.2020, 16:47

Ulrich Ruhnau

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Die Differentialgleichungen sind beide in etwa gleich und können mit der Methode der Trennung der Veränderlichen bequem gelöst werden.

28.04.2020, 20:36

dgl3

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Bei welchem Schritt soll ich Trennung der Variablen anwenden ?

29.04.2020, 07:52

HAL 9000

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Da war einer aber sehr ungeduldig: https://www.onlinemathe.de/forum/DGL-Gleichung-gewoehnliche

29.04.2020, 08:53

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung
smile

29.04.2020, 09:25

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
dann gilt z.B. für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd \ln(f(x))}{\dd x}=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\dd \ln(f(x))}{\dd x}\,\dd x=\int \! c\,\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \dd \ln(f(x))=\int \! c\,\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(f(x))=cx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{cx} \end{eqnarray*}$

Das Gleiche tue man mit $\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ !

@HAL
Was sagst Du zu meiner Variationsaufgabe?

29.04.2020, 09:36

HAL 9000

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Ich versuche die bekannte Nuhr-Maxime "Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal Fresse halten" zu befolgen. Und das trifft auf mich in punkto Variationsrechnung zu.

29.04.2020, 10:56

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich versuche die bekannte Nuhr-Maxime "Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal Fresse halten" zu befolgen. Und das trifft auf mich in punkto Variationsrechnung zu.

@HAL
Weil ich diese Anfrage ursprünglich als Rätsel gedacht hatte, sehe ich das nicht so streng.
Auch Du bist herzlich eingeladen! Willkommen

29.04.2020, 21:46

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Ich will das hier mal vernünftig abschließen. Nachdem ich jetzt $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{cx} \end{eqnarray*}$ berechnet habe, füge ich noch $\begin{eqnarray*} g(y)=e^{\frac yc} \end{eqnarray*}$ an. Zusammen ergibt das

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=g(x)\cdot g(y)=e^{cx+\frac yc} \end{eqnarray*}$

Weil es sich hier um eine homogene lineare Dgl handelt, ist ein vielfaches der Lösung auch wieder eine Lösung. Also muß ich noch eine Konstante $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ergänzen.

Die allgemeine Lösung von $\begin{eqnarray*} u_{xy}(x,y)=u(x,y) \end{eqnarray*}$ lautet also:

$\begin{eqnarray*} \qquad\underline{\underline{u(x,y)=a\,f(x)\cdot g(y)=a\,e^{cx+\frac yc}}}\qquad a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\ne0 \end{eqnarray*}$ sind Konstanten.

29.04.2020, 21:59

HAL 9000

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Damit erfasst du lediglich die Lösungen, die dem Produktansatz genügen - das sind aber längst nicht alle Lösungen der DGL:

Da diese DGL linear ist, sind sämtliche Linearkombinationen von Lösungen auch wieder Lösungen. Mehr noch, für viele signierte Maße $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (u.a. ALLE (!) diskreten signierten Maße auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(\{0\})=0 \end{eqnarray*}$ ) dürfte

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = \int\limits_{\mathbb{R}} e^{cx+\frac{y}{c}} ~ \dd\mu(c) \end{eqnarray*}$

auch die DGL lösen. Für die genannten diskreten Maße mit Maß $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ auf Punkt $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ sieht das speziell so aus

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = \sum_{i=1}^n a_i e^{c_ix+\frac{y}{c_i}} \end{eqnarray*}$ ,

d.h., das sind die genannten Linearkombinationen.

29.04.2020, 22:29

Ulrich Ruhnau

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Danke HAL! Sehr interessant! Eigentlich hätte ich es sehen müssen. geschockt

Aber ich schätze, dgl3 hat sich schon aus dem Staube gemacht. smile

30.04.2020, 01:43

dgl3

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Nein ich bin noch dabei Big Laugh

Habe halt sau die komplette Aufgabe zu verstehen

30.04.2020, 20:16

Ulrich Ruhnau

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Dank HALs Hilfe ist die Aufgabe nun komplett gelöst. Differentialgleichungen zu lösen habe ich im Studium im 3. Semester gelernt. Zur Vorlesung konnte ich wegen Überschneidungen nicht kommen. Aber da waren ja noch die Rechenübungen, die ich mir immer angeschaut habe. Dasselbe empfehle ich Dir auch. Falls es nicht möglich sein sollte, empfehle ich dieses Skript.

30.04.2020, 23:51

dgl3

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Die Lösung habe ich ja jetzt ok .
Aber kannst du mir trotzdem erklären das alles zusammenhängend nach welchen Schritt von dir ,Hall weiter rechnet ?
Und warum ?

01.05.2020, 00:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \qquad\underline{\underline{u(x,y)=a\,f(x)\cdot g(y)=a\,e^{cx+\frac yc}}}\qquad a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\ne0 \end{eqnarray*}$ sind Konstanten.

Hier hat HAL 9000 zu recht darauf hingewiesen, daß Summen dieser Lösungen auch wieder Lösungen sind. Z.B. ist mit $\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2=2 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} u(x,y)=e^{x+y}+5e^{2x+\frac y2} \end{eqnarray*}$ auch eine Lösung.

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