Beweis der Surjektivität der Abbildung der Untergruppe auf die Linksnebenklasse

26.04.2020, 13:20	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Surjektivität der Abbildung der Untergruppe auf die Linksnebenklasse Meine Frage: Hallo! Ich habe generell Probleme, Surjektivitätsbeweise zu finden, weil ich nie weiß, ob meine Argumentation ein Beweis ist, oder nicht, weshalb ich mal fragen wollte, ob meine folgende Argumentation valide ist. Frage: Sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Untergruppe der Gruppe $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray}$ . Nun definieren wir, die Äquivalenzrelation (Beweis ausgelassen) $\begin{eqnarray} ~_H \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} g_2 ~_H g_1 \Leftrightarrow g_1^{-1} * g_2 \in H \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} g * H = \{\ g * h \| h \in H \}\ \end{eqnarray}$ die Linksnebenklasse. Wir definieren folgende Abbildung: $\begin{eqnarray} f: H \to g * H , h \mapsto g * h \end{eqnarray}$ Ist f bijektiv? Ich werde im Folgenden auch meinen Beweis für die Injektivität darlegen, weil er ja nicht richtig sein muss, nur weil ich mir da sicher bin. Ich hoffe, das ist kein Problem . Injektivität: Nehmen wir zwei Elemente $\begin{eqnarray} h_1 , h_2 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , welche unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dasselbe Bild haben. Also: $\begin{eqnarray} f(h_1) = f(h_2) \Rightarrow g * h_1 = g * h_2 \Rightarrow h_1 = h_2 \end{eqnarray}$ . Surjektivität: Hier bin ich mir nicht sicher. Sei $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ . Nun gilt: $\begin{eqnarray} f(h) = g * h \Rightarrow h = g^{-1} * f(h) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} h = g^{-1} * f(h) \end{eqnarray}$ das eindeutig bestimmte Urbild. Danke! Meine Ideen:* .
26.04.2020, 14:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst gH sei "die " Linksnebenklasse, das verwirrt, denn für jedes g ist gH eine Linksnebenklasse. Danach ist nichts ganz falsch, aber auch viel unklar. Zu Injektivität schließt du h1=h2 aus gh1=gh2, das stimmt, aber du sagst nicht, warum es stimmt, obwohl das so leicht zu begründen ist. Zu Surjektivität musst du ein Element aus gH nehmen und dazu ein Urbild finden. Das geht so: sei gh in gH, dann ist f(h)=gh, also h ein Urbild in H. fertig. Deine Begründung ist auch richtig, du darfst nur nicht von h ausgehen sondern musst von gh aus starten.
26.04.2020, 14:13	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Injektivität: $\begin{eqnarray} a c = a * b \Rightarrow c = b \end{eqnarray}$ , wegen der Kürzungsregel Das hab' ich nicht geschrieben, um Arbeit zu sparen (dennoch habe unnötig jeden Buchstaben in Latex gesetzt ) Das mit "der" Linksnebenklasse stimmt natürlich, der gleiche Fehler mit "einer" leeren Menge nur andersherum. Kann ich also als $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ einfach das $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} g * h \end{eqnarray}$ nehmen? Edit: "Kann ich also als $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ einfach das $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} g * h \end{eqnarray}$ nehmen?" Das hat sich erledigt. Es kann kein $\begin{eqnarray} g * h \end{eqnarray}$ nicht getroffen werden, denn, wenn es kein $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu einem $\begin{eqnarray} g * h \end{eqnarray}$ gibt, dann gibt's auch kein $\begin{eqnarray} g * h \end{eqnarray*}$ .

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