Gruppe Matrizen über endlichem Körper

27.04.2020, 11:32	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Matrizen über endlichem Körper Sei $\begin{eqnarray} q>1 \end{eqnarray}$ eine Potenz einer Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ ein Körper mit $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Elementen. Sei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl und sei $\begin{eqnarray} G=GL_n(\mathbb F_q) \end{eqnarray}$ die Gruppe der invertierbaren $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ -Matrizen über $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass die Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ von Ordnung $\begin{eqnarray} q^{\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} } \cdot (q^{n}-1) \cdot (q^{n-1}-1)...(q-1) \end{eqnarray}$ ist. b) Zeigen Sie, dass die oberen Dreiecksmatrizen mit charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray} (X-1)^n \end{eqnarray}$ eine Sylowsche p-Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bilden. Gesucht ist also die Anzahl der invertierbaren $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ -Matrizen über $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ . Das sind also die Matrizen, für die die Determinante ungleich Null ist. Vielleicht könnte die Leibniz-Formel helfen? Ich sehe aber leider nicht, wie. Viel mehr als der Zugang über die Determinante fällt mir da im Moment nicht ein...
27.04.2020, 12:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper a) In der ersten Spalte stehen n Einträge, also gibt es für die erste Spalte $\begin{eqnarray} q^n-1 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, weil der Nullvektor nicht auftreten darf. In der zweiten Spalte wieder $\begin{eqnarray} q^n \end{eqnarray}$ , jetzt abzüglich der Vielfachen der ersten Spalte. So geht es weiter.
27.04.2020, 15:16	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper Danke, daran hatte ich nicht gedacht. Eine Matrix ist ja genau dann invertierbar, wenn die Spalten linear unabhängig sind. Wenn ich dein Verfahren weiterführe, komme ich auf $\begin{eqnarray} (q^n-1)\cdot (q^n-q) \cdot (q^n-q^2) \cdot ... \cdot (q^n-q^{n-1}) \end{eqnarray}$ als Gruppenordnung. Um zu der in der Aufgabe angegebenen Formel zu kommen, klammere ich aus der zweiten Klammer ein $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ aus, aus der dritten Klammer ein $\begin{eqnarray} q^2 \end{eqnarray}$ und so weiter. Das "häuft sich dann an" zu einem Vorfaktor $\begin{eqnarray} q^{1+2+...+(n-1)}=q^\frac{(n-1)n}{2} \end{eqnarray}$ und das ist gleich $\begin{eqnarray} q^{\begin{pmatrix} n \\ 2\\\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ . Ist diese Argumentation nachvollziehbar oder muss man das "formaler" aufschreiben? Zu b): Bei diesen oberen Dreicksmatrizen haben wir also auf der Diagonale n Einsen, d.h. $\begin{eqnarray} \frac{n^2-n}{2} \end{eqnarray}$ Nullen und $\begin{eqnarray} \frac{n^2-n}{2} \end{eqnarray}$ Einträge im "oberen Dreieck". Diesmal sind die Spalten ja auf jeden Fall linear unabhängig. Also müsste die Gruppenordnung dann $\begin{eqnarray} q^{\frac{n^2-n}{2}} \end{eqnarray}$ sein, was zu einer p-Sylowgruppe passt, da $\begin{eqnarray} q=p^k \end{eqnarray}$ war. Man muss also nur noch zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Das neutrale Element liegt darin, Assoziativität ist auch klar. Bleibt also noch zu zeigen, dass das Inverse einer oberen Dreiecksmatrix wieder eine obere Dreiecksmatrix ist. Hier hänge ich leider ein bisschen; "logisch" ist das ja klar, auch über den Gauß-Algorithmus lässt sich das irgendwie begründen, aber wie schreibe ich das am besten auf?
27.04.2020, 16:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper Für mich wäre a) ausreichend begründet. Zu b) Mir fehlt noch die Abgeschlossenheit bzgl der Produktbildung. Wenn man das hat, muss man sich nur erinnern, dass wir in einer endlichen Gruppe leben. Gehört zu Sylow nicht noch mehr als p-Ordnung? Kann mich gerade nicht erinnern
27.04.2020, 17:51	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper Die Abgeschlossenheit habe ich hinbekommen, über die Indexschreibweise. Man kann die Summe so aufteilen, dass man je nachdem, ob $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ darauf schließen kann, dass das Matrizenprodukt gleich 0 bzw. 1 ist. In einer endlichen Gruppe reicht es ja dann sogar schon, die Abgeschlossenheit nachzuweisen um zu zeigen, dass es sich um eine Untergruppe handelt. Zu Sylow: Stimmt, die Untergruppe muss auch maximal sein, das heißt, es darf keine größere echte Untergruppe geben. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das hier zeige... Könntest du mir hier noch weiterhelfen? EDIT: Ich sehe gerade, der 1. Sylow-Satz müsste da die Behauptung eigentlich schon liefern?!
27.04.2020, 19:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper Ja, in einer endlichen Gruppe reicht die Abgeschlossenheit. Dass man hier eine maximale p-Gruppe hat, sieht man schon an der Gruppenordnung. Der Exponent von p in der Ordnung von G ist schon vollständig ausgereizt. Sylow 1 garantiert eben zusätzlich, dass es auch wirklich in jedem Fall eine maximale p-Gruppe gibt, die, kurz gesagt, den Exponenten von p ausreizt
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27.04.2020, 19:27	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Matrizen über endlichem Körper Alles klar, danke fürs Helfen

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