Streckung in x-Richtung

27.04.2020, 12:17	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Streckung in x-Richtung Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe gerade nochmals versucht die Streckung/Stauchung ordentlich zu notieren/klassifizieren. In y-Richtung ist es relativ einfach. Es sei jeweils f die ursprüngliche Funktion und g diejenige Funktion, bei der eine Anpassung im Schaubild durchgeführt würde. Streckung/Stauchung in y-Richtung $\begin{eqnarray} g(x)= a \cdot f(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a>1 \end{eqnarray}$ Streckung in y-Richtung für $\begin{eqnarray} 0<a<1 \end{eqnarray}$ Stauchung in y-Richtung Für die Streckung/Stauchung in x-Richtung kann ich jetzt aber zwei Variante formulieren: Variante 1: $\begin{eqnarray} g(x) = f(b \cdot x) \end{eqnarray}$ In dieser Betrachtung wurde dann jede x-Koordiante eines Punktes auf dem Schaubild mit der Zahl $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ multipliziert und es gilt dann: für $\begin{eqnarray} b>1 \end{eqnarray}$ Stauchung in x-Richtung für $\begin{eqnarray} 0<b<1 \end{eqnarray}$ Streckung in x-Richtung also genau andersrum wie der y-Richtung Variante 2: $\begin{eqnarray} g(x) = f( \frac{1}{b} \cdot x) \end{eqnarray}$ In dieser Betrachtung wurde dann jede x-Koordiante eines Punktes auf dem Schaubild mit der Zahl $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ multipliziert und es gilt dann: für $\begin{eqnarray} b>1 \end{eqnarray}$ Streckung in x-Richtung für $\begin{eqnarray} 0<b<1 \end{eqnarray}$ Stauchung in x-Richtung also genau wie bei der y-Richtung Nun habe ich zwei Fragen dazu: 1) Sehe ich das so überhautp richtig? 2) Welche von beiden ist jetzt "besser" ? Meine Ideen: 1) Ich denke ja 2) Beide sind gut. Der Vorteil von Variante 1 ist, dass man keinen Bruch in der allgemeine Sinusfunktion zum Beispiel braucht. Dort wird in der Notation zumindest oftmals $\begin{eqnarray} a \cdot sin(b(x-c))+d \end{eqnarray}$ geschrieben. Variante 2 hat den Vorteil, dass die Begriffe Streckung und Stauchung wie bei der y-Richtung funktionieren. Wie seht ihr das? Gruß Stevie
27.04.2020, 14:32	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streckung in x-Richtung Variante b würde mir besser gefallen, weil $\begin{eqnarray} a >1,\; b > 1 \end{eqnarray}$ intuitiv für Streckung steht. Folglich paßt $\begin{eqnarray} \frac yb=f\left(\frac xa\right) \end{eqnarray}$ am besten. Intuitiv kann man sich das auch an der Ellipsengleichung klar machen: $\begin{eqnarray} \left(\frac xa\right)^2+\left(\frac yb\right)^2=1 \end{eqnarray}$ Verallgemeinern könnte man die letzte Gleichung durch $\begin{eqnarray} f\left(\frac xa\right)+g\left(\frac ya\right)^2=1 \end{eqnarray}$ Da empfehle ich sehr das kostenlose Zeichen-Programm Geogebra, mit dem man Funktionen implizit plotten kann und z.B. die Variablen a und b mit Schiebereglern verknüpfen kann um die Figur dynamisch zu verändern.
27.04.2020, 14:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich gibt es zwischen der $\begin{align} x \end{align}$ - und $\begin{align} y \end{align}$ -Betrachtung keinen Unterschied. Diese Einschätzung wird dich vielleicht überraschen. Aber es ist wirklich so. Der scheinbare Unterschied rührt daher, daß wir bei Funktionen immer eine Variable als unabhängig, die andere als abhängig auszeichnen: $\begin{align} y = f(x) \end{align}$ . Der Graphenmenge selber ist das egal: $\begin{align} G = G(f) = \left\{ (x,y) \left\| \, y=f(x) \right. \right\} \end{align}$ Jetzt führen wir eine axiale Streckung in $\begin{align} x \end{align}$ -Richtung aus, sagen wir mit dem Faktor $\begin{align} \lambda>0 \end{align}$ . Was gilt denn für einen Punkt $\begin{align} \left( \hat{x} , \hat{y} \right) \end{align}$ des Bildes $\begin{align} \hat{G} \end{align}$ ? Er hat ein Urbild $\begin{align} (x,y) \in G \end{align}$ nach der Vorschrift $\begin{align} (x,y) \mapsto \left( \hat{x} , \hat{y} \right) = \left( \lambda x , y \right) \end{align}$ Und das zeigt schon alles. Man liest ab: $\begin{align} \hat{x} = \lambda x \, , \ \hat{y} = y \end{align}$ . Oder nach $\begin{align} x,y \end{align}$ aufgelöst: $\begin{align} x = \frac{1}{\lambda} \hat{x} \, , \ \ y = \hat{y} \end{align}$ Entsprechend wird in der Gleichung $\begin{align} y=f(x) \end{align}$ substituiert. Man erhält $\begin{align} \hat{G} = \left\{ \left( \hat{x} , \hat{y} \right) \left\| \, \hat{y} = f \left( \frac{1}{\lambda} \hat{x} \right) \right. \right\} \end{align}$ Und bei der axialen Streckung in $\begin{align} y \end{align}$ -Richtung mit dem Faktor $\begin{align} \lambda > 0 \end{align}$ folgt ganz entsprechend $\begin{align} x = \tilde{x} \, , \ \ y = \frac{1}{\lambda} \tilde{y} \end{align}$ $\begin{align} \tilde{G} = \left\{ \left( \tilde{x} , \tilde{y} \right) \left\| \, \frac{1}{\lambda} \tilde{y} = f \left( \tilde{x} \right) \right. \right\} \end{align}$ Jetzt ist es üblich, daß man die neuen Koordinaten $\begin{align} \left( \hat{x} , \hat{y} \right) \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} \left( \tilde{x} , \tilde{y} \right) \end{align}$ wieder in $\begin{align} (x,y) \end{align}$ zurückbenennt. Dann kann man das so zusammenfassen: Streckung in $\begin{align} x \end{align}$ -Richtung mit dem Faktor $\begin{align} \lambda > 0 \end{align}$ : Ersetze $\begin{align} x \end{align}$ durch $\begin{align} \frac{1}{\lambda} x \end{align}$ , behalte $\begin{align} y \end{align}$ bei. Streckung in $\begin{align} y \end{align}$ -Richtung mit dem Faktor $\begin{align} \lambda > 0 \end{align}$ : Ersetze $\begin{align} y \end{align}$ durch $\begin{align} \frac{1}{\lambda} y \end{align}$ , behalte $\begin{align} x \end{align}$ bei. Und es ist Geschmackssache, ob man $\begin{align} \frac{1}{\lambda} = a \end{align}$ umbenennt und die inhaltliche Aussage mit Hilfe von $\begin{align} a \end{align}$ trifft. Es gibt keinen Unterschied beim Vorgehen zwischen $\begin{align} x \end{align}$ -Streckung und $\begin{align} y \end{align}$ -Streckung. Nur das Auflösen von $\begin{align} \frac{1}{\lambda} y = f(x) \end{align}$ nach $\begin{align} y = \lambda f(x) \end{align}$ führt zu einem scheinbaren Unterschied. Nachtrag Das Wortpaar Stauchung/Streckung ist gefährlich. Hier gibt es einen Sprachkonflikt zwischen mathematischer Fachsprache und Umgangssprache. In der Mathematik bezeichnet man doch alles als Streckung, egal ob $\begin{align} 0 < \lambda < 1 \end{align}$ oder $\begin{align} \lambda > 1 \end{align}$ gilt. Sogar die Identität mit $\begin{align} \lambda=1 \end{align}$ könnte man als Streckung auffassen. Wenn man will, kann man sogar vorzeichenbehaftete Streckungen zulassen, die dann noch eine Spiegelung beinhalten. Nur $\begin{align} \lambda = 0 \end{align}$ zieht das Weltall wieder in den Urknall zurück. Für die Schule würde ich vorschlagen, im eigentlichen Merksatz das Wort Stauchung zu vermeiden, und nur von Streckungen zu reden. Man könnte dann noch einen erklärenden Satz anfügen: "Streckungen mit $\begin{align} \lambda < 1 \end{align}$ ziehen einen Graphen zusammen (umgangssprachlich spricht man auch von Stauchungen), Streckungen mit $\begin{align} \lambda > 1 \end{align}$ expandieren) ihn (umgangssprachlich spricht man auch von Dehnungen)." So oder ähnlich. ) Expander können sich unsere muskelaffinen jungen Herren gut vorstellen. Und die Damen vermutlich auch.
28.04.2020, 20:20	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank Das einfach über die Graphenmenge herzuleiten ist eine genialer Ansatz. Damit ist wirklich alles sofort klar. Ich habe mich drei Jahre lang an Schaubildern abgemüht, um die Formeln verständlich zu machen bzw. herzuleiten. Dabei ist die Graphenmenge als Menge betrachtet und nicht ihre Visualisierung als Schaubild wirklich die bessere Variante. Vielen Dank dafür, das wird mir viel Mühe und Arbeit in Zukunft ersparen Gruß Stevie

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