Gleichmäßige Konvergenz überprüfen

27.04.2020, 13:20

Gleichmäßige Konvergenz überprüfen

Meine Frage:
Hallo, ich hänge an einer Aufgabe fest, da ich mit dem Beweis für gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge leider noch gar nichts anzufangen weiß. Gegeben ist die Funktionenfolge fn(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1/n^2} \end{eqnarray*}$
Für die punktweise Konvergenz ergibt sich ja, wenn ich richtig liege, einfach die Grenzfunktion f(x)=x. Nun soll überprüft werden, ob die Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergiert.

Meine Ideen:
Als Ansatz: Für den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz muss ja gelten, dass $\begin{eqnarray*} | fn(x)-f(x) | \end{eqnarray*}$ < Epsilon. Allerdings weiß ich jetzt schon gar nicht weiter. Wie wähle ich denn mein Epsilon? Und für n->unendlich geht ja meine Funktionenfolge immer noch gegen x, das heißt, die Differenz wäre ja einfach null. Vielen Dank für alle Tipps!

27.04.2020, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von tr
Grenzfunktion f(x)=x.

Ich nehme an, es geht hier um Definitionsbereich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Dann denk doch bitte mal darüber nach, was bei negativen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passiert...

27.04.2020, 17:00

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Oh Danke, das habe ich tatsächlich überhaupt nicht bedacht verwirrt

Dann würde ja dementsprechend mein Ergebnis in den Komplexen Zahlen liegen. Jetzt weiß ich allerdings gar nicht mehr, wie dann meine Grenzfunktion aussieht. Oder bleibt diese dann einfach f(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Und wie mache ich danach mit dem Beweis für die gleichmäßige Konvergenz weiter?

27.04.2020, 17:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von tr
Dann würde ja dementsprechend mein Ergebnis in den Komplexen Zahlen liegen.

Nein. Der Bereich der reellen Zahlen wird hier nirgendwo verlassen.

Zitat:

Original von tr
Oder bleibt diese dann einfach f(x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Manche schreiben dafür auch einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zum Beweis: Wenn man sich mal ein paar Graphen anschaut wie etwa $\begin{eqnarray*} f_5 \end{eqnarray*}$

dann könnte man doch auf die Idee kommen, dass die Abweichung beider Funktionen an der Stelle x=0 am größten ist, in Formeln gegossen:

$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und das könnte man ja mal versuchen zu beweisen. Wenn du die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit verstanden hast solltest du erkennen, dass das dann mehr als die halbe Miete für dein eigentliches Anliegen ist.

EDIT: Fehler infolge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ korrigiert.

28.04.2020, 17:56

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein. Der Bereich der reellen Zahlen wird hier nirgendwo verlassen.

Entschuldige, wenn ich grade total auf dem Schlauch stehe, aber für n->unendlich würde mein Ergebnis doch in den komplexen Zahlen liegen, sofern x negativ ist?

Zitat:

Original von HAL 9000
dann könnte man doch auf die Idee kommen, dass die Abweichung beider Funktionen an der Stelle x=0 am größten ist, in Formeln gegossen:

$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Und das könnte man ja mal versuchen zu beweisen. Wenn du die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit verstanden hast solltest du erkennen, dass das dann mehr als die halbe Miete für dein eigentliches Anliegen ist.

Danke, für deine Mühe. Das ist wirklich mein erster Versuch, gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen zu beweisen, also entschuldige, wenn ich nochmal nachfragen muss.

Dass der Abstand der beiden Funktionen an der Stelle x=0 am größten ist, ist mir klar. Inwiefern brauche ich diese Information dann für den Beweis? Also muss ich mir nicht am Ende ähnlich wie bei anderen Konvergenzbeweisen ein Epsilon wählen, das ja hier nicht von x abhängen darf? Also vielleicht bräcuhte ich noch einen Tipp, inwiefern mir die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
dann weiterhilft verwirrt

28.04.2020, 18:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von tr
aber für n->unendlich würde mein Ergebnis doch in den komplexen Zahlen liegen, sofern x negativ ist?

Meine Brille ist ja auch manchmal verdreckt, so dass ich was übersehe, daher meine Frage: Dir ist schon bewusst, dass da $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ steht und nicht etwa nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ ? Denn wo bitte wird $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ denn mal negativ???

In dem Zusammenhang stelle ich gerade fest, dass genau das mit der verdreckten Brille auch mir passiert ist: Ich hatte nämlich auch nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel gelesen statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Ich werde das daher in den nächsten Minuten oben in meinem letzten Beitrag korrigieren. Augenzwinkern

28.04.2020, 20:55

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dir ist schon bewusst, dass da $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ steht und nicht etwa nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ ? Denn wo bitte wird $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ denn mal negativ???

Oh man natürlich, sorry, irgendwie habe ich tatsächlich die ganze Zeit an $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gedacht, jetzt ist es mir klar.

Nochmal zum Beweis: Das wäre jetzt meine Überlegung, aber ich weiß nicht, ob das so einfach geht.
Also ich weiß ja nun, dass
$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt.
Kann ich dann ein Epsilon in Abhängigkeit von n wählen? Denn es gilt ja n $\begin{eqnarray*} \geq n_0 \end{eqnarray*}$
also könnte ich ja mein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ =1/Epsilon wählen und wüsste dann, dass
$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ = Epsilon
gilt. Damit hätte ich die gleichmäßige Konvergenz doch eigentlich bewiesen, oder?

Zumindest bin ich so immer bei anderen Konvergenzbeweisen vorgegangen, aber vielleicht ist die Vorgehensweise hier ja auch falsch.

28.04.2020, 21:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von tr
Denn es gilt ja n $\begin{eqnarray*} \geq n_0 \end{eqnarray*}$
also könnte ich ja mein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ =1/Epsilon wählen und wüsste dann, dass
$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ = Epsilon
gilt. Damit hätte ich die gleichmäßige Konvergenz doch eigentlich bewiesen, oder?

Ja, so einfach ist das vom Grundgedanken.

Zwei Anmerkungen/Korrekturen dazu:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht unbedingt ganzzahlig, daher wählt man besser $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil \end{eqnarray*}$ (obere Gaußklammer = Aufrundungsfunktion).

2) Wichtig ist, dass die Wahl von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt und dann für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passt - das ist der Bedeutungskern von "gleichmäßig".

30.04.2020, 10:03

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zwei Anmerkungen/Korrekturen dazu:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht unbedingt ganzzahlig, daher wählt man besser $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil \end{eqnarray*}$ (obere Gaußklammer = Aufrundungsfunktion).

2) Wichtig ist, dass die Wahl von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt und dann für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passt - das ist der Bedeutungskern von "gleichmäßig".

Danke noch für die beiden Hinweise. Zwei Fragen sind bei mir doch noch aufgetaucht, es wäre super nett, wenn ich dazu noch eine Antwort bekommen könnte:

1. Kann ich eigentlich einfach annehmen, dass
$\begin{eqnarray*} 0 < f_n(x)-f(x) \leq f_n(0)-f(0) \end{eqnarray*}$ gilt, oder muss ich das noch beweisen und wenn ja, wie?

2. Ist es kein Problem, dass am Ende meines Beweises kein "echt kleiner" sondern letztendlich nur $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ steht?

30.04.2020, 10:39

HAL 9000

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Na du musst es beweisen! Ist aber hier nicht schwierig: Durch äquivalente Umformung dieser Behauptung bekommt man

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} - |x| \leq \frac{1}{n}\qquad \bigm|\;+|x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} \leq |x| + \frac{1}{n}\qquad \bigm|\;\left(\right)^2 \end{eqnarray*}$ (darf man, weil auf beiden Seiten positive Zahlen stehen!)

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{n^2} \leq \left(|x| + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + |x|\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\qquad \bigm|\;-x^2-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |x|\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Und das ist zweifelsohne eine richtige Aussage.

Und der andere Teil, d.h. $\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$ , sollte dann auch kein Problem mehr sein.

Alternativ kannst du natürlich auch eine kleine Kurvendiskussion der Differenzfunktion $\begin{eqnarray*} d(x):=f_n(x)-f(x) \end{eqnarray*}$ führen, d.h., alle lokalen Extrema bestimmen sowie auch das Verhalten im unendlichen bestimmen. Aus all diesen Daten kann man dann auch eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} \left| f_n(x)-f(x) \right| \end{eqnarray*}$ nach oben finden. Ich hab diesen Weg skizziert, weil er so auch für allgemeinere Funktionsfolgen brauchbar sein könnte - in unserem speziellen Fall war er mir schlicht zu lang und aufwändig. Augenzwinkern

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