Wie Betragsungleichungen beweisen

Neue Frage »

Martina256 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Betragsungleichungen beweisen
Meine Frage:
Hallo,

ich muss einige Betragsungleichungen beweisen, scheitere aber bereits bei der ersten, weil ich nicht verstehe wie man die Sache angeht:







Meine Ideen:
Ich vermute, dass ich hier die Dreiecksungleichung und die Eigenschaft der Multiplikativität nutzen muss. Stimmt das und wie komme ich damit auf einen Beweis?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dreiecksungleichung bringt hier gar nichts, weil sie in der hier "falschen" Richtung wirkt.

Tatsächlich nutzt man hier eher für reelle Zahlen mit GLEICHEM Vorzeichen, d.h. entweder beide positiv oder beide negativ. Denn genau das trifft auch auf und zu, man schaue sich dazu nur deren Produkt an.


Alternative: Man quadriert die Ungleichung. Da auf beiden Seiten nichtnegative Werte stehen, ist das (ausnahmsweise) dann doch eine äquivalente Umformung, die zu beweisende Ungleichung ist dann äquivalent zu

.
G270420 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie Betragsungleichungen beweisen
Vorschlag:
Hauptnenner bilden, dann Fallunterscheidung machen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung noch: Es fehlt die Angabe der Voraussetzung, dass es sich bei um von Null verschiedene reelle Zahlen geht. Denn die Terme machen durchaus auch für von Null verschiedene komplexe Zahlen Sinn, aber dort ist diese Ungleichung i.a. nicht richtig: Man betrachte etwa .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ geht auch Hauptnenner, und dann ohne Fallunterscheidung unter Ausnutzung von



und der zweiten binomischen Formel; Kenntnisse zu Termumformungen und Äquivalenzumformungen vorausgesetzt.
Martina256 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Leider bin ich immer noch nicht weiter gekommen. Ich habe die Gleichung so umgeformt:




Wie muss ich denn jetzt weiter machen?
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte

Eigentlich wärst du nun fertig, weil ein Quadrat immer nichtnegativ ist. Allerdings stellt sich mir die Frage, wie du von

auf

kommst, denn
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »