Satz von Gauß über Quader

27.04.2020, 14:29

Captn. Limes

Satz von Gauß über Quader

Meine Frage:
Hallo,

ich hänge etwas an der folgenden Aufgabe:
siehe Anhang.

Meine Ideen:
Die Vektoren lauten:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{n}_{2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{n}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\<br /> \vec{n}_{4} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \,\vec{n}_{5} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,\vec{n}_{6} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\ \end{eqnarray*}$

Divergenz:
$\begin{eqnarray*} div(\vec{v(r)}) = x+2xy+x^{2}y \end{eqnarray*}$

Das zu lösende Integral sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{a} \! \int_{0}^{b} \! \int_{0}^{c} \!dx dy dz \, (x+2xy+x^{2}y) \end{eqnarray*}$

Hier stehe ich jetzt etwas auf dem Schlauch. Ich bin etwas verwirrt, wie die Integrale nun zu bestimmen sind.
Meiner Meinung nach integriere ich zuerst nach z und setze dann die Grenzen ein und danach integriere ich nach y und setze wieder die Grenzen ein. Das Gleiche nochmal mit x und ich habe den Wert ermittelt, oder?

27.04.2020, 15:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Satz von Gauß über Quader

Zitat:

Original von Captn. Limes
$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{a} \! \int_{0}^{b} \! \int_{0}^{c} \!dx dy dz \, (x+2xy+x^{2}y) \end{eqnarray*}$

Ich bevorzuge die Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{c} \! \int_{0}^{b} \! \int_{0}^{a} \!\! \left(x+2xy+x^{2}y\right)\dd x \dd y \dd z \end{eqnarray*}$

Das läßt sich doch locker von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bis nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wegintegrieren. Wenn Du über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ integrierst, dann behandelst Du $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als Konstanten. Wenn Du danach noch über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrierst ist die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Abhängigkeit schon verschwunden und Du behandelst $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als Konstante u.s.w..

27.04.2020, 16:06

Captn. Limes

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RE: Satz von Gauß über Quader
Daran dachte ich auch. Allerdings hätte ich zuerst nach z integriert und dann weiter.
Mache ich es so, wie du geschrieben hast, bekomme ich folgendes Ergebnis...

$\begin{eqnarray*} \frac{6a^{2}bc+a^{3}b^{2}c}{6} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn bei b) mein dS bestimmen?

27.04.2020, 19:50

Ulrich Ruhnau

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RE: Satz von Gauß über Quader
Du mußt, so wie es aussieht, über 6 Flächen integrieren. Fange z.B. mit Fläche 1 an:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{S_1} \! \vec{v}(x)\cdot \vec{n_1} \, \dd f=\int\limits_0^c\int\limits_0^b\!\vec v(a,y,z)\cdot \vec{n_1}\dd y\dd z \end{eqnarray*}$

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