Wert einer Reihe bestimmen

27.04.2020, 16:01	Reihenwertler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe bestimmen Meine Frage: Guten Tag, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, nämlich: Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } n^{2}(\frac{x^{n} }{n!}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Aus der Vorlesung weiß ich, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{n} }{n!} = e \end{eqnarray}$ entspricht. Ich weiß allerdings nicht wie ich das als benutzen soll. Hat jemand für mich vielleicht einen Denkanstoss? MFG Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen. Steffen
27.04.2020, 16:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, die Summe läuft über Index $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , statt (wie von dir angegeben) über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Intelligent kürzen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n\cdot (n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^n}{(n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)x^n}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!} = \ldots = x^2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} + x\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray}$ Und ein bisschen Indexverschiebung unter Beachtung von $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^{\color{red}x} \end{eqnarray}$ nutzen, ggfs. mehrfach...

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