Gewöhnliche Differentialgleichungen- Globale Existenz

27.04.2020, 23:13

Kadir

Gewöhnliche Differentialgleichungen- Globale Existenz

Meine Frage:
Wie kann man zeigen, dass die DGL. x?? + x^3 = 0 global existiert?

Meine Ideen:
Mein Ansatz: die DGL ist eine Hamilton DGL und weil diese stetig ist muss nur noch die Lipschitz Bedingung gezeigt werden. Wobei der Satz für Globale Existenz für AWP gilt, bin ich mir nicht sicher, ob man es auch in diesem Fall benutzen kann?

28.04.2020, 00:10

Ulrich Ruhnau

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen- Globale Existenz
Man könnte jetzt spekulieren, daß deine Fragezeichen Ableitungen nach irgend etwas bedeuten. Was meinst Du wirklich?

Meinst Du vielleicht $\begin{eqnarray*} y''+y^3=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} y=y(x) \end{eqnarray*}$ ist und ' die Ableitung darstellt?

28.04.2020, 04:52

Kadir

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Genau so ist es

28.04.2020, 10:06

Ulrich Ruhnau

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Ich kann Dir jedoch bei den DGL-Existenzsätzen nicht weiter helfen. Das muß ein anderer tun. Jedoch will ich deine DGL so weit, wie es geht, lösen.

$\begin{eqnarray*} y''+y^3=0\quad|\cdot 2y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y'y''+2y^3y'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((y')^2)'+\frac 12 (y^4)'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y')^2+\frac 12 y^4=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\pm\sqrt{c-\frac 12 y^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac {\dd y}{\pm\sqrt{c-\frac 12 y^4}}=x \end{eqnarray*}$ Das hier läuft auf ein Elliptisches Integral hinaus, mit dem sich Carl-Friedrich Gauss schon beschäftigt hat.

Mit entsprechenden Randbedingungen ist y(x) eine Funktion, die der Sinusfunktion ähnelt.

28.04.2020, 14:04

Huggy

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen- Globale Existenz

Zitat:

Original von Kadir
Meine Frage:
Wie kann man zeigen, dass die DGL. x?? + x^3 = 0 global existiert?

Die DGL existiert global, wenn man definiert, dass sie global gelten soll. Du möchtest wohl eher zeigen, dass ihre Lösungen global existieren, d. h. in $\begin{eqnarray*} t \in (-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ existieren, wenn man die unabhängige Variable mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Zitat:

Mein Ansatz: die DGL ist eine Hamilton DGL und weil diese stetig ist muss nur noch die Lipschitz Bedingung gezeigt werden. Wobei der Satz für Globale Existenz für AWP gilt, bin ich mir nicht sicher, ob man es auch in diesem Fall benutzen kann?

Auch dass ist unklar formuliert. Man kann jedenfalls zeigen, dass zu beliebigen Anfangswerten eine eindeutige globale Lösung existiert. Deine Begründung erscheint mir aber unzureichend. Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert zu beliebigen Anfangswerten nur eine eindeutige und maximal fortsetzbare Lösung. Er besagt aber nicht, dass die maximale Fortsetzung sich auf $\begin{eqnarray*} t \in (-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ erstreckt.

29.04.2020, 22:06

Ulrich Ruhnau

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen- Globale Existenz
Hallo Kadir,

auch wenn das hier die Aufgabe nicht löst, zeige ich hier trotz dem, was das CAS-Programm Maple für

$\begin{eqnarray*} \;{\frac {{\rm d}^{2}}{{\rm d}{x}^{2}}}y \left( x \right) + \left( y\left( x \right) \right) ^{3}=0\quad \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \quad y(0)=0,\quad y'(0)=2\quad \end{eqnarray*}$ für eine Lösung liefert:

$\begin{eqnarray*} y \left( x \right) ={\frac {\sqrt {2}\sqrt {\sqrt {2}{JacobiCN}\left( 0,i \right) {\it JacobiDN} \left( 0,i \right) }}{{\, JacobiCN<br /> } \left( 0,i \right) {\, JacobiDN} \left( 0,i \right) }{\, JacobiSN}\left( {\frac {x\sqrt {\sqrt {2}{\, JacobiCN} \left( 0,i \right) {<br /> \, JacobiDN} \left( 0,i \right) }}{{\, JacobiCN} \left( 0,i \right){\, JacobiDN} \left( 0,i \right) }},i \right) } \end{eqnarray*}$

[attach]51130[/attach] Das sieht ja fast wie ein Sinus aus.

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