Münzwurf (Ereignisse unabhängig)

28.04.2020, 10:08

Stochastik323

Münzwurf (Ereignisse unabhängig)

Meine Frage:
Zufallsexperiment: n-maliges Werfen einer idealen Münze mit n>1. A sei das Ereignis, dass bei n Münzwürfen sowohl "Kopf" als auch "Zahl" geworfen wurde. Sei B das Ereignis, dass höchstens einmal "Kopf" geworfen wurde. Ich soll zeigen, dass die Ereignisse genau dann unabhängig sind, wenn n=3 ist.

Meine Ideen:
Das bedeutet, dass ich zwei Richtungen zeigen muss. Zuerst habe ich mir n=3 hergenommen und die Ergebnisse der Ereignisse aufgeschrieben. Anschließend habe ich mir die Bedingung angeschaut, die für unabhängige Ereignisse gelten muss und habe diese geprüft. Dies stimmt.

Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass n=3 sein muss? Also die Gegenrichtung.

28.04.2020, 11:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stochastik323
Anschließend habe ich mir die Bedingung angeschaut, die für unabhängige Ereignisse gelten muss und habe diese geprüft. Dies stimmt.

Wäre besser gewesen, du hättest das nicht nur verbal beschrieben, sondern konkret in Zahlen dargelegt, was du da rechnest. Denn genau diese zu prüfenden Gleichung benötigen wir ja auch für die Gegenrichtung, allerdings die für allgemeine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und nicht nur die für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ .

Für diese allgemeine Gleichung müssen wir nämlich zeigen, dass sie keine andere Lösung als $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ hat.

28.04.2020, 11:13

Stochastik323

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Okay. Dann schreibe ich es nochmal ausführlich hin.

Sei nun n=3. Dann ist $\begin{eqnarray*} A = \left\{ KKZ,KZK,KZZ,ZKK,ZKZ,ZZK \right\} \end{eqnarray*}$ . und $\begin{eqnarray*} B = \left\{ KZZ,ZKZ,ZZK,ZZZ\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei Z=Zahl und K=Kopf ist.

für unabhängige Ereignisse muss gelten: $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)P(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)= (\left\{ KZZ,ZKZ,ZZK\right\}) = 3/8 = 4/8 * 6/8 = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt muss ich doch noch die Rückrichtung zeigen, oder?

28.04.2020, 11:19

HAL 9000

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Ich hab doch gerade gesagt was zu tun ist, aber gut, ich wiederhole es nochmal (manche scheinen wirklich erst die zweite oder dritte Wiederholung ernst zu nehmen):

Stelle Formeln für $\begin{eqnarray*} P(A),P(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ auf in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , das verläuft an sich völlig analog zu $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , nur dass du eben nicht mit festen Wahrscheinlichkeitswerten, sondern mit Termen arbeitest, in denen dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eingeht. Die Unabhängigkeitsforderung $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\stackrel{!}{=} P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ mündet in dem Sinne dann in eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und von der müssen wir dann zeigen, dass sie außer $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ keine weitere Lösung $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ hat.

28.04.2020, 11:46

Stochastik323

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Die des Vorgehens habe ich schon verstanden. Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich die Formeln in Abhängigkeit von n aufstellen kann?

28.04.2020, 11:48

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ umfasst alle $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Sequenzen der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ außer KKK...K und ZZZ...Z, das bedeutet $\begin{eqnarray*} P(A) = 1 - \frac{2}{2^n} = 1-\frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ umfasst alle Sequenzen mit keinmal Kopf (ZZZ...Z) oder genau einmal Kopf, letzteres sind KZZ...Z, ZKZ...Z bis hin zu ZZZ...ZZK. Zählt man richtig durch (bzw. nutzt die Binomialverteilung, so man sie denn schon kennt), dann gelangt man zu $\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{n+1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ist fast dasselbe, nur dass die Sequenz ZZZ...Z mit keinmal Kopf hier wegfällt ... was ergibt das für eine Formel für $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ? Das solltest du nun wirklich allein rauskriegen.

28.04.2020, 14:02

Stochastik323

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Sorry, dass ich jetzt erst antworte. Ich musste mir das nochmal genauer anschauen.

$\begin{eqnarray*} A\cap B = \frac{n}{2^{n} } ? \end{eqnarray*}$

28.04.2020, 16:35

HAL 9000

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Unter Wahrung der korrekten Symbolik schreiben wir besser $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = \frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

So, und nun kannst du die bewusste Gleichung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufstellen, anschließend können wir uns über deren Lösung unterhalten.

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