Basis

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regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis
Da Steffen mir geraten hat ein eigenen Thread hierfür zu erstellen, eröffne ich mal einen neuen thread.
Steffen, ich hoffe dir macht es nichts aus, wenn ich fragen zu einer weiteren Aufgabe habe? smile
ich glaube das ordnet sich nämlich wohl eher in schulmathematik zu.


Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl und die zugehörige natürliche Zahl , so dass die Zahl zur Basis x und die Zahl zur Basis den gleichen Wert haben. Ein Rechenweg zur Bestimmung der Werte von und muss erkennbar sein!

also habe ich jetzt



zu zeigen:

=


wäre jetzt die kleinste natürliche Zahl von die , da ?
und was bedeutet bitte das "zugehörig" ist?
Wie sollte da bitte der Rechenweg aussehen? Kann ich jetzt beliebige Werte für x und y nehmen und einsetzen? z.B sei und für und dann einsetzen in

=

=

=

die wären ja somit ungleich. also ist das ja schon mal ein falscher weg. Was habe ich bitte falsch gemacht? Wäre wahnsinnig toll wenn du mir auch hierbei so tatkräftig helfen könntest.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

folgt aus der Definition der Basisdarstellung von natürlichen Zahlen.
ist Algebra für Kinder und beruht auf den Grundrechenarten.

Nun darfst du mitspielen. Setze nacheinander die Werte 8, 9, 10, ... für x ein und berechne daraus y. Höre auf, wenn y eine natürliche Zahl größer als 7 ist. Dann hast du die Aufgabe meisterhaft gelöst. Begründe, warum x und y größer als 7 sein müssen, sonst hast du nichts verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte allerdings auch noch beachten, dass 7 eine gültige Ziffer für Basis ist, d.h., es muss sogar erfüllt sein. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Ich bin auf meine hübsche Gleichung hereingefallen. Hammer Danke.
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von regenbogen54
[quote]Original von Elvis
folgt aus der Definition der Basisdarstellung von natürlichen Zahlen.
ist Algebra für Kinder und beruht auf den Grundrechenarten.

Nun darfst du mitspielen. Setze nacheinander die Werte 8, 9, 10, ... für x ein und berechne daraus y. Höre auf, wenn y eine natürliche Zahl größer als 7 ist. Dann hast du die Aufgabe meisterhaft gelöst. Begründe, warum x und y größer als 7 sein müssen, sonst hast du nichts verstanden.


Hallo Elvis, danke für deine hilfe. Vorab woher kommt denn bitte nun die und ?

sollten die gleichungen nicht vorher nach umgeformt werden bevor ich die Werte einsetze?

Und wieso bitte fange ich bei der an und höre auf wenn größer als ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe alles begründet, einmal reicht.

x und x-y müssen größer als 7 sein, weil man in einem System mit kleinerer Basis die Ziffer 7 nicht zur Verfügung hat.
Wie man an deiner Frage sieht, hast du leider nichts verstanden. Da kann man nichts machen.
 
 
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »



weshalb ist das denn bitte äquivalent zueinander?

hätte ich es verstanden, hätte ich wohl von anfang an keine frage gestellt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Unfug, Zahlen sind nicht äquivalent. Die Gleichungen sind äquivalent, weil die linken Seiten und die rechten Seiten gleich sind, weil die Zifferndarstellung zur jeweiligen Basis so definiert ist. Was du hier hingeschrieben hast ist GLEICH.
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
folgt aus der Definition der Basisdarstellung von natürlichen Zahlen.




dann stelle ich die frage anders. Zu der basisdarstellung von natürlichen zahlen.

das



ist dasselbe wie das?:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis

weil man in einem System mit kleinerer Basis die Ziffer 7 nicht zur Verfügung hat.


ok. und wieso hat man die ziffer 7 in einem system mit kleinrer basis nicht zu verfügung?

und was fällt bitte unter "kleineren basis" z.b?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@regenbogen54

Es wäre wohl besser gewesen, wenn du von Anfang an gesagt hättest:

"Ich habe keinerlei Kenntnisse zu solchen Zahldarstellungen in anderen Stellenwertsystemen als dem Dezimalsystem."

Denn wenn jemand mit so einer Aufgabe ankommt, dann nimmt man als Helfer eigentlich an, dass zumindest Basiskenntnisse da vermittelt worden sind. Ob nun coronabedingt oder nicht, jedenfalls scheint bei dir da nichts vorhanden zu sein. Das macht die Kommunikation so holprig.

Ich fürchte daher, ohne einen Basis-Crashkurs zu solchen Zahlendarstellungen wird das hier auch weiter so holprig bleiben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im 5-er System hat man die Ziffern 0,1,2,3,4. Im System zur Basis n hat man die Ziffern 0,1,2,...,n-1.

@HAL 9000
Auf Kindergartenniveau kommen wir relativ gut voran. Augenzwinkern
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Im 5-er System hat man die Ziffern 0,1,2,3,4. Im System zur Basis n hat man die Ziffern 0,1,2,...,n-1.


und wir haben ein system zur basis x die welche ziffern bitte hat?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt will ich nicht mehr spielen, das wird mir selbst auf Kindergartenniveau zu kindisch.
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Jetzt will ich nicht mehr spielen, das wird mir selbst auf Kindergartenniveau zu kindisch.


ok. kann bitte jemand anderes weiterhelfen außer hal bzw. elvis?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Im 10-er System hat man die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Im 5-er System hat man die Ziffern 0,1,2,3,4.
Im 16-er System hat man die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Im allgemeine Fall eins x-er Systems müsste man sich passende Symbole einfallen lassen. Das ist hier aber überhaupt nicht erforderlich.

Im 10-er System ist
Im 5-er System ist
Im 16-er System ist

Deswegen ist

und wieder wech Wink
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir erst mal im Dezimalsystem und beschränken uns auf zwei Stellen.

Dann ist die Zahl 42 ja nur eine Kurzschreibweise für die Rechnung 4*10+2.

Wenn wir im Oktalsystem (Basis 8) wären, wäre die Rechnung eben 4*8+2. Ok?

Und wenn wir in irgendeinem System mit Basis n wären, wäre die Rechnung 4*n+2. Ok?

Nun verlangt die Aufgabe, dass man sowohl ein System mit Basis n als auch ein System mit Basis (x-y) betrachtet. Machen wir also stur für diese beiden Fälle weiter:

Wenn wir in irgendeinem System mit Basis x wären, wäre die Rechnung 4*x+2.
Wenn wir in irgendeinem System mit Basis x-y wären, wäre die Rechnung 4*(x-y)+2.

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt haben sich schon so viele eingemischt. Da kommt es auf mich auch nicht mehr an. Hier ein paar Grundlagenbeispiele. Für die Zahlwerte zehn, elf, ... verwende ich die Ziffern A, B, ...

Zweiersystem/Binärsystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Dreiersystem/Ternärsystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Vierersystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Zehnersystem/Dezimalsystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Elfersystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Sechzehnersystem/Hexadezimalsystem
Stellen:
erlaubte Ziffern:

Wir wollen einmal die Zahl, die im uns vertrauten Zehnersystem zweihundertneunundachtzig heißt, in den obigen Systemen darstellen.

Binärsystem


Dreiersystem


Vierersystem


Zehnersystem (überflüssig)


Elfersystem


Hexadezimalsystem
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

ein großen dank an euch beiden. das ist wesentlich verständlicher. jetzt wüsste ich noch gerne wieso man bei den einsetzen für x bei der zahl 8 beginnt und wieso man aufhört wenn das ergebnis höher als 7 ist? smile

wenn wir jetzt haben, dann weiß man doch immer noch nicht welche zahlen sich im system befinden, da x ja beliebig natürliche zahl sein kann. wieso also nicht höher als 7? verwirrt unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Für die Zahlwerte zehn, elf, ... verwende ich die Ziffern A, B, ...

[...]

Zehnersystem/Dezimalsystem
Stellen:

Elegante Umschiffung des Problems, das man sonst bei diesem Thema mit der Mehrdeutigkeit der Symbolik "10" hat. Bleibt die spannende Frage, ob diese konsequente Darstellung an der Stelle beim eigentlichen Zielpublikum dann auch richtig verstanden wird - wir werden sehen.


@regenbogen87

Leider drückst du dich selbst auch sehr unverständlich aus, widersprichst dich teilweise selbst von einem Satz zum nächsten:

Zitat:
Original von regenbogen54
jetzt wüsste ich noch gerne wieso man bei den einsetzen für x bei der zahl 8 beginnt

Weil die Basis größer sein muss als alle Ziffern (siehe Leopolds Auflistung), genauer gesagt ist sie um 1 größer als die maximal MÖGLICHE Ziffer.

Wenn also in der Zahlendarstellung zur Basis eine Ziffer 7 auftaucht, dann muss auf jeden Fall sein!

Zitat:
Original von regenbogen54
und wieso man aufhört wenn das ergebnis höher als 7 ist? smile

Verstehe ich nicht: Wer hört hier womit auf, und was meinst du mit "ergebnis":

Zitat:
Original von regenbogen54
wieso also nicht höher als 7? verwirrt unglücklich

Nochmal: Wie kommst du auf die Idee, dass x nicht größer als 7 sein kann? Das Gegenteil ist der Fall, IST hier größer als 7 allein wegen des Auftretens der Ziffer 7. Wie ich oben schon erwähnt hatte, gilt hier vielmehr sogar noch , d.h. wegen des Auftretens der Ziffer 7 in der Zahl .
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis

1)Setze nacheinander die Werte 8, 9, 10, ... für x ein

2)Höre auf, wenn y eine natürliche Zahl größer als 7 ist.

3)x und x-y müssen größer als 7 sein


das hier verstehe ich nicht

wieso soll ich die werte ab der zahl 8 einsetzen? warum nicht ab der 1 oder 0?

wieso soll ich aufhören wenn y eine natürliche zahl größer als 7 ist? warum nicht wenn sie größer als 9 oder 20 ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
keine Lust mehr auf Sisyphos-Arbeit
Zitat:
Original von regenbogen54
Zitat:
Original von Elvis

1)Setze nacheinander die Werte 8, 9, 10, ... für x ein [...]

wieso soll ich die werte ab der zahl 8 einsetzen? warum nicht ab der 1 oder 0?

Jetzt reicht es mir auch: Es ist oben schon ZIGmal erwähnt worden, dass die Basis größer sein muss als alle auftretenden Ziffern - u.a. auch von mir nochmal in meinem letzten Beitrag. Da du das einfach nicht zur Kenntnis nehmen willst und stattdessen dieselbe (schon längst beantwortete) Frage gebetsmühlenartig immer und immer und immer wieder stellst, ist für mich Feierabend. Wink
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: keine Lust mehr auf Sisyphos-Arbeit
Zitat:
Original von HAL 9000

dass die Basis größer sein muss als alle auftretenden Ziffern


ja, aber warum?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es eine Grundvoraussetzung solcher Stellenwertsysteme zur Basis ist, dass nur die Ziffern Verwendung finden (siehe Leopolds Auflistung, die du doch angeblich verstanden haben willst).

Kannst du also mal einen Moment die Füße stillhalten und das momentan nicht hinterfragen? Diese Voraussetzung wird nämlich nicht grundlos gemacht, sondern dient der Eindeutigkeit der Zifferndarstellung einer gegebenen Zahl: Würde ein schönes Chaos geben, wenn jeder ganzzahlige Wert im selben Stellenwertsystem VERSCHIEDENE Zifferndarstellungen hätte:

Beispielsweise wäre dann (dezimal). Es ist aber auch . Das ist also das Resultat deiner bescheuerten Idee, auch Basen zuzulassen, die nicht größer als die größte mögliche Ziffer sind. Forum Kloppe


So, nun ist aber wrklich finito.


Ein kleiner Off-topic-Nachtrag muss noch sein:

Bei manchen Fragestellern denke ich an Jaroslav Hašek "Geschichte vom kleinen Mila" aus dem Erzählband Meine Beichte, und habe volles Verständnis für den Ich-Erzähler. Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zehnersystem ist die Basis zehn (A).

In der Grundschule lernt man



Wir, schon etwas geübter in mathematischer Notation, schreiben dafür



Das A habe ich an der 485 nur hingeschrieben, um anzugeben, daß wir im Zehnersystem arbeiten. Normalerweise macht man das nicht, da wir hier aber auch in anderen Systemen arbeiten, ist es besser, das anzugeben, um nicht durcheinanderzukommen. Die Ziffer A steht hier für zehn. ist eins, die 5 zählt also die Einer, ist zehn, die 8 zählt also die Zehner, ist hundert, die 4 zählt also die Hunderter.

i) Wie viele Ziffern gibt es im Zehnersystem?
ii) Wie heißen diese Ziffern (alle aufschreiben)?
iii) Wie lautet die größte dieser Ziffern?

Bitte beantworte diese Fragen.
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


i) Wie viele Ziffern gibt es im Zehnersystem?



unendlich viele ziffern?

ich weiß du hast von 0 bis 9 oben geschrieben, aber wenn ich beispielsweise die zahl 1000 0000 0000 0000
habe dann sind das doch durchaus mehr als 9 ziffern oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich frage: Wie viele Buchstaben hat das lateinische Alphabet, sagst du dann auch "unendlich viele", weil man ja auch das Wort

Donaudampfschifffahrtsgesellschaftskapitänskajütenlogbucheintragungsfü
llertintenfarbe


bilden kann? Ziffern sind Zeichen, noch nicht Zahlen. Wie ja auch Buchstaben Zeichen sind und keine Wörter. Aus Buchstaben kann man Wörter bilden, aus Ziffern Zahlen. Natürlich kann man sagen, daß der Buchstabe O auch ein Wort sein kann ("O du fröhliche"). Aber zunächst einmal ist das nur ein Buchstabe. Genauso kann die Ziffer 6 auch eine Zahl ("sechs") bedeuten, zunächst aber ist das nur eine Ziffer.
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

i) Wie viele Ziffern gibt es im Zehnersystem?
9 bzw. 10, da man von 0 anfängt

ii) Wie heißen diese Ziffern (alle aufschreiben)?
0, 1, 2, 3, 4 ,5 ,6, 7 ,8, 9

iii) Wie lautet die größte dieser Ziffern?
9

wäre den 9 hier auch wirklich die größte ziffer? denn wir betrachten die 9 hier ja nicht als zahl sondern als ziffer?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht ganz unrecht mit deiner Frage. Eigentlich müßten wir sagen: Unter allen Ziffern ist 9 diejenige, die, als Zahl aufgefaßt, den größten Wert besitzt. Und da ist man halt großzügig und sagt: 9 ist die größte Ziffer. Aber du hast da einen wunden Punkt getroffen.

Und du erkennst: Jede Ziffer im Zehnersystem ist kleiner als zehn. (Wie man diesen Satz lesen muß, verstehst du inzwischen.)
Umgekehrt könnte man sagen: Die Basiszahl A (zehn) im Zehnersystem ist größer als jede Ziffer des Zehnersystems.
Und genau das ist, worauf HAL die ganze Zeit hinauswollte.

Also jetzt noch mal: Wenn die Basis eines Zahlsystems ist und unter den Ziffern dieses System die 7 vorkommt (sieht man an ), was muß dann mit der Größe von sein?
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

da fällt mir ein zu fragen, was ist denn bitte eine basiszahl?
und wo liegt der unterschied zwischen basis und basiszahl?

analog zu basiszahl A im Zehnersystem hätte ich jetzt gesagt das x die größere Ziffer ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe meinen ersten Beitrag. Dort habe ich Beispiele mit der Basis 2, der Basis 3, der Basis 4, der Basis A (zehn), der Basis B (elf), der Basis G (sechzehn) gemacht. Das sind die jeweiligen Basiszahlen. Und die waren immer größer als die Ziffern, die in ihrem Stellenwertsystem vorkamen:

Basiszahl 4
Ziffern: 0,1,2,3
4 > 3

Basiszahl A (zehn)
Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
A (zehn) > 9

Basiszahl G (sechzehn)
Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
G (sechzehn) > F (fünfzehn)
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

also hat das system mi der basis x ziffern von 0-W?

vielen dank für deine geduld. so ist es tatsächlich einfacher für mich zu verstehen. Kannst du mir das bitte jetzt auch in der form weiter für die lösung der aufgabe erklären? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von regenbogen54
also hat das system mi der basis x ziffern von 0-W?


Diese Antwort ist ganz falsch. Das liegt daran, daß hier eine ganz gewöhnliche mathematische Variable ist und keine Ziffer.

Hier die Musterlösung:

Man bestimme die kleinste natürliche Zahl und die zugehörige natürliche Zahl , so daß die Darstellung im Stellenwertsystem mit der Basis und die Darstellung im Stellenwertsystem mit der Basis dieselbe Zahl darstellen.

Lösung

Zunächst geben wir die Bedeutungen der Zahldarstellungen an:





Diese Zahlen sollen nun gleich sein. Das führt auf die Gleichung und nach einer kleinen Umformung auf



Modulo 7 heißt das , also . Für kommen daher nur 8,15,22,29,36 und so weiter als Möglichkeiten in Frage.

(Wer die modulo-Schreibweise nicht kennt, kann folgendermaßen argumentieren: In der Gleichung sind ganze Zahlen, also auch und . Nun ist eine Siebenerzahl, also wegen der Gleichheit auch . Die Primzahl 7 kann aber in der Zweierpotenz nicht aufgehen, also muß sie in aufgehen. Da ist, kommen nur 8,15,22,29,36,... in Frage.)

Probe mit : Die Gleichung liefert , also





Die Werte sind gleich, die zweite Darstellung ist aber ungültig, denn die Ziffer 7 darf im 4er-System nicht vorkommen. ist also nicht möglich.

Probe mit : Die Gleichung liefert , also .





Die Werte sind gleich, die zweite Darstellung aber wieder ungültig, denn die Ziffer 7 darf im 7er-System nicht vorkommen. ist also nicht möglich.

Probe mit : Die Gleichung liefert , also



Wunderbar, es ist geschafft. Denn die Zehnersystem ist die Ziffer 7 jetzt erlaubt. Das kleinste x, für das die Aufgabe gelöst wird, ist also
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen vielen dank. das mit dem Modulo habe ich noch nicht verstanden, aber wie bestimmen wir dann jetzt noch die zugehörige natürliche Zahl y?

oder ist y dann = 12? oder mach ich die probe mit y. lege ein wert für y fest und löse nach x auf und gestalte die proben analog?
regenbogen54 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von regenbogen54
also hat das system mi der basis x ziffern von 0-W?





EIne Frage noch. wieso hast du bei der letzten gleichung eigentlich noch die zweite gleichung die bereits bestimmte x-y wert eingesetzt?
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