Homomorphismus zu Abbildung mit Permutationsmatrix

28.04.2020, 12:22	Alge12	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus zu Abbildung mit Permutationsmatrix Meine Frage: Ich habe eine Frage zur Lösung einer Aufgabe: Ich soll zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} phi: S_{n} -> GL_{n}(K) , a \|--> (e_{a(1)} ,..., e_{a(n)}) \end{eqnarray}$ ein injetiver Gruppenhomomorphismus ist. Meine Ideen: Meine Überlegung ist Folgende: Ich zeige, dass phi(a o t) = phi(a)phi(t) ist. phi(a o t) $\begin{eqnarray} (e_{a o t(1)}, ... ,e_{a o t(n)}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} e_{(a(1) o t(1))}, ... ,e_{(a(n) o t(n))} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} e_{a(1)} o e_{t(1)}, ... ,e_{a(n)} o e_{t(n)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (e_{a(1)}, ... ,e_{a(n)} * (e_{t(1)}, ... ,e_{t(n)} \end{eqnarray}$ = phi(a)phi(t) Ist das richtig so?
28.04.2020, 12:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen ein paar Klammern, aber das ist nicht so schlimm, da leicht zu korrigieren. Wo aber ist der Beweis ? Bitte begründe die einzelnen Schritte, sonst kann man das glauben oder auch nicht, es kann richtig oder falsch oder auch unsinnig sein. Wo bleibt die Injektivität ?
28.04.2020, 13:38	Alge12	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität war nicht dabei. Zum Beweis: $\begin{eqnarray} e_{i} \end{eqnarray}$ wird auf $\begin{eqnarray} e_{t(i)} \end{eqnarray}$ danach auf $\begin{eqnarray} e_{a(t(i)<br /> \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} e_{(a o t)(i))} \end{eqnarray}$
28.04.2020, 13:40	Alge12	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität war nicht dabei. Zum Beweis: $\begin{eqnarray} e_{i} \end{eqnarray}$ wird auf $\begin{eqnarray} e_{t(i)} \end{eqnarray}$ danach auf $\begin{eqnarray} e_{a(t(i)}<br /> \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} e_{(a o t)(i))} \end{eqnarray}$
28.04.2020, 13:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Die Produktmatrix entsteht durch Multiplikation der Zeilen des linken Matrixfaktors mit den Spalten des rechten Matrixfaktors. Du mußt dir beim linken Faktor also erst überlegen, wie du von der Spalten- zur Zeilenschreibweise kommst. Ich schätze, daß das Folgende gilt: $\begin{align} \begin{pmatrix} e_{a(1)} & e_{a(2)} & \ldots & e_{a(n)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {e_{a^{-1}(1)}}^{\top} \\ {e_{a^{-1}(2)}}^{\top} \\ \vdots \\ {e_{a^{-1}(n)}}^{\top} \end{pmatrix} \end{align}$ Diese Blickänderung müßte zunächst sorgfältig begründet werden. Dann kannst du die Matrizen auch der Ordnung nach miteinander multiplizieren.
28.04.2020, 14:02	Alge12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e_{a(1)} \\ ... \\ e_{a(n)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (P_{a})^{T} \end{eqnarray}$ für P als Permutationsmatrix. Die Abbildung war dementsprechend a \|--> $\begin{eqnarray} (P_{a})^{T} \end{eqnarray}$
Anzeige

28.04.2020, 14:04	Alge12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e_{a(1)} \\ ... \\ e_{a(n)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (P_{a} \end{eqnarray}$ für P als Permutationsmatrix. Die Abbildung war dementsprechend a \|--> $\begin{eqnarray} (P_{a})^{T} \end{eqnarray}$
28.04.2020, 14:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem Eröffnungsbeitrag hattest du die Permutationsmatrix mit Hilfe von Spalten geschrieben. Anders kann man deine Schreibweise nicht deuten. Jetzt schreibst du auf einmal die Permutationsmatrix mit Hilfe von Zeilen. Da macht das Helfen keinen Spaß. Wenn das alles anders herum ist, dann mußt jetzt halt beim zweiten Matrixfaktor die Blickrichtung ändern. (Und natürlich mußt du die Injektivität zeigen, das steht ausdrücklich in der Aufgabe.)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »