Arcos auf dem Taschenrechner (fx-991es)

28.04.2020, 12:42

David1992

Arcos auf dem Taschenrechner (fx-991es)

Hallo,

ich habe folgendes Problem:
Der Arccos ist ja keine eindeutige Funktion. Z.B. ist für Arccos(-0,459) sowohl 117,3° als auch 242,7° eine valide Lösung.
Wenn ich dies nun in meinem Taschenrechner eingebe, bekomme ich das erste mögliche Ergebnis welches zwischen 0 und 180° liegt, und somit 117,3°.

Gibt es eine Möglichkeit auch den Wert 242,7° ausgegeben zu bekommen?

Viele Grüße,

David

28.04.2020, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von David1992
Der Arccos ist ja keine eindeutige Funktion.

Das ist von Beginn an der falsche Zungenschlag. unglücklich

Der arccos IST eine Funktion $\begin{eqnarray*} [-1,1]\to [0,\pi]=\left[0^{\circ},180^{\circ}\right] \end{eqnarray*}$ , und als solche auch eindeutig (sonst wäre es keine Funktion).

Davon losgelöst ist das Problem $\begin{eqnarray*} \cos(x) = y \end{eqnarray*}$ für gegebenes $\begin{eqnarray*} y\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ zu betrachten, welches tatsächlich unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat, die man aber mit Hilfe des arccos darstellen kann, das sind nämlich

$\begin{eqnarray*} x = \pm\arccos(y) + k\cdot 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ genommen über alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Für dein spezielles $\begin{eqnarray*} y=-0.459 \end{eqnarray*}$ bekommen wir etwa

$\begin{eqnarray*} \arccos(-0.459) \approx 117.3^{\circ} \end{eqnarray*}$ (aus der +Schar mit k=0)
$\begin{eqnarray*} 360^{\circ}-\arccos(-0.459) \approx 360^{\circ}-117.3^{\circ}=242.7^{\circ} \end{eqnarray*}$ (aus der -Schar mit k=1)

Das sind nur zwei von unendlich vielen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(x)=-0.459 \end{eqnarray*}$ , allerdings die einzigen beiden im eingeschränkten Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0^{\circ},360^{\circ}\right] \end{eqnarray*}$ .

28.04.2020, 15:47

David1992

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Vielen herzlichen Dank!
Da war ich wohl tatsächlich schon grundlegend auf dem Schlauch gestanden...

Viele Grüße,

David

28.04.2020, 16:01

Leopold

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Das Problem, das HAL angesprochen hat, kennst du auch schon von der Quadrat- und Wurzelfunktion. Ich darf nachplappern.

Die Wurzel IST eine Funktion $\begin{align*} [0,\infty) \to [0,\infty) \end{align*}$ , und also solche auch eindeutig (sonst wäre es keine Funktion).

Davon losgelöst ist das Problem $\begin{align*} x^2 = y \end{align*}$ für gegebene $\begin{align*} y \in [0,\infty) \end{align*}$ zu betrachten, welches tatsächlich zwei Lösungen $\begin{align*} x \end{align*}$ hat, die man aber mit Hilfe der Wurzelfunktion darstellen kann, das sind nämlich

$\begin{align*} x = \pm \sqrt{y} \end{align*}$

Um die Analogie herauzustellen, habe ich HALs Wortwahl wörtlich übernommen.

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