Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung

28.04.2020, 16:42

Ulrich Ruhnau

Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung

Eigentlich sollte das ein Rätsel werden, das ich in unserer Rätselecke posten wollte. Leider habe ich mich beim Proberechnen so verhaspelt, daß ich es lieber hier poste. Wenn ich mit Maple rechne, kommt etwas vernünftiges heraus. Aber wenn ich von Hand rechne, dann fallen meine Konstanten nicht alle heraus. Ich würde jetzt einfach gerne sehen, wie Ihr das rechnen würdet, und präsentiere meine Rechnung dann später. Aber nun zum Rätsel:

Ein Schwimmer steht am Ost-Ufer in Fuerteventura (im Koordinatenursprung) und sieht ostwärts (in positiver y-Richtung) eine im Boden verankerte Boje, die $\begin{eqnarray*} a=500\,\text{m} \end{eqnarray*}$ weit vom Ufer entfernt ist und würde gerne hin schwimmen, um sich daran festzuhalten. Ungünstiger Weise macht eine starke Strömung in Richtung Süden (positive x-Achse) dieses Vorhaben gefährlich.

Der Schwimmer möchte nach der Zeit T die Boje erreicht haben. Die Strömung nach Süden ist proportional zum Abstand zum Ufer. Ich gebe die Geschwindigkeit der Wasseroberfläche vor: $\begin{eqnarray*} \vec w=(\omega y,0) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die Proportionaltiätskonstante, die abhängig von Ebbe, Flut, Wind und Wetter schwankt aber hier für die Dauer T als konstant betrachtet werden soll. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist selbstverständlich der Abstand zum Ufer. Wie kommt der Schwimmer möglichst energiesparend innerhalb der Zeit T zur Boje? Die aufgewandte Energie, die minimal zu halten ist, sei: $\begin{eqnarray*} E=\frac 12\int_{0}^{T} \! |\vec v(t)|^2 \, \dd t \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \vec v(t) \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf die Wasseroberfläche ist und $\begin{eqnarray*} \vec u(t) \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit über Grund. Ich mache mal den Anfang mit der Gleichung: $\begin{eqnarray*} \vec u(t)=\vec v(t)+\vec w(t) \end{eqnarray*}$
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28.04.2020, 19:08

Huggy

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Die aufgewandte Energie, die minimal zu halten ist, sei: $\begin{eqnarray*} E=\frac 12\int_{0}^{T} \! |\vec v(t)|^2 \, \dd t \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \vec v(t) \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf die Wasseroberfläche ist]

Das ist aber nicht die Energie im physikalischen Sinn, die der Schwimmer aufbringen muss.

28.04.2020, 19:53

Ulrich Ruhnau

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung
Hallo Huggy, wir wollen doch nicht päpstlicher sein als der Papst. Irgend wie muß ich die Schwimmleistung begrenzen. Man kann ja nicht unbegrenzt schnell schwimmen. Das hat etwas mit dem Strömungswiderstand eines Schwimmers zu tun und mit seiner Motorik. Die einfache Annahme, daß die Erschöpfung eines Schwimmers eine quadratischen Funktion der Geschwindigkeit ist, soll fürs Erste ausreichend sein.

28.04.2020, 20:11

Huggy

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung
Da es mir naheliegend erschienen wäre, die sich aus einer Kraft proportional $\begin{eqnarray*} |\vec v|^2 \end{eqnarray*}$ ergebende Energie/Arbeit zu minimieren, wollte ich nur sichergehen, dass du auch wirklich das meinst, was du als zu minimierende Größe hingeschrieben hast. Schließlich verwendet ein Physiker normalerweise nicht das Wort Energie, wenn er eine andere Größe meint.

28.04.2020, 21:41

Ulrich Ruhnau

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung
Sehr scharfsinnig! Vielleicht hätte ich lieber das Wort Erschöpfung nehmen sollen. Viel Erfolg!

29.04.2020, 10:59

Huggy

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung
Sei $\begin{eqnarray*} (x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ die nach der Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ parametrisierte Bahnkurve des Schwimmers mit den Randbedingungen

$\begin{eqnarray*} x(0)=0 \quad x(T)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)=y(T)=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \dot x=v_x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot y=v_y+w(t)=v_y+\omega x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec v|^2=v_x^2+v_y^2=\dot x^2+(\dot y- \omega x)^2 \end{eqnarray*}$

Das führt zu den Euler-Lagrange-Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad - \omega \dot y+ \omega^2 x -\ddot x =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \omega \dot x-\ddot y=0 \end{eqnarray*}$

Diese lineare DGL-System ist zu lösen und die 4 erhaltenen Konstanten sind an die Randbedingungen anzupassen. Die Lösung ist nicht schwer. (2) kann sofort einmal integriert werden. Nach der Integration löst man nach $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$ auf und setzt das in (1) ein.

Edit: Dummerweise habe ich die x- und y-Koordinaten gegenüber der Problemstellung vertauscht, bin aber zu faul das alles abzuändern.

29.04.2020, 18:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Optimierungsproblem: Gefährliche Strömung
Also um nicht durcheinander zu kommen tausche hier x und y zurück.

Zitat:

Bearbeitetes Original von Huggy
Sei $\begin{eqnarray*} (x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ die nach der Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ parametrisierte Bahnkurve des Schwimmers mit den Randbedingungen

$\begin{eqnarray*} y(0)=0 \quad y(T)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(0)=x(T)=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \dot y=v_y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot x=v_x+w(t)=v_x+\omega y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec v|^2=v_x^2+v_y^2=\dot y^2+(\dot x- \omega y)^2 \end{eqnarray*}$

Das führt zu den Euler-Lagrange-Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad - \omega \dot x+ \omega^2 y -\ddot y =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \omega \dot y-\ddot x=0 \end{eqnarray*}$

Diese lineare DGL-System ist zu lösen und die 4 erhaltenen Konstanten sind an die Randbedingungen anzupassen. Die Lösung ist nicht schwer. (2) kann sofort einmal integriert werden. Nach der Integration löst man nach $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ auf und setzt das in (1) ein.

Danke Huggy! Augenzwinkern

So weit war ich auch schon gekommen. Jetzt kommt es nur noch auf die Konstanten an und daß ich mich nicht wieder verhaspele.
Dann nehme ich mal Gleichung 2:

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \omega \dot y-\ddot x=0 \end{eqnarray*}$ und stelle sie um.

$\begin{eqnarray*} \omega \dot y=\ddot x \end{eqnarray*}$ und integriere nach der Zeit.

$\begin{eqnarray*} u+\omega y=\dot x \end{eqnarray*}$ dabei habe ich u als Integrationskonstante ausgwählt.

Wenn der Schwimmer startet ( $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ), soll er sich also in die Richtung $\begin{eqnarray*} (\dot x,\dot y)=(u,v) \end{eqnarray*}$ über Grund bewegen. Dabei habe ich unsere Randbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ verwendet.
Dann nehme ich mir jetzt Gleichung 1 vor

$\begin{eqnarray*} (1)\quad - \omega \dot x+ \omega^2 y -\ddot y =0\quad \end{eqnarray*}$ und ersetze $\begin{eqnarray*} \dot x=u+\omega y \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} -\omega (u+\omega y)+ \omega^2 y -\ddot y =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\omega u\cancel{-\omega^2 y}\cancel{+\omega^2 y} -\ddot y =0\quad \end{eqnarray*}$ dann umstellen

$\begin{eqnarray*} - \omega u =\ddot y\quad \end{eqnarray*}$ und zweimal integrieren

$\begin{eqnarray*} v- \omega u t=\dot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} vt- \frac 12\omega u t^2=y(t)\quad \end{eqnarray*}$ Jetzt kommt noch die Randbedingung $\begin{eqnarray*} y(T)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} vT- \frac 12\omega u T^2=a\quad \end{eqnarray*}$ Das will ich nach v auflösen.

$\begin{eqnarray*} v=\frac aT+\frac{\omega}2 uT\quad \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich mir noch mal $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ vor.

$\begin{eqnarray*} \dot x=u+\omega y,\quad y=vt- \frac 12\omega u t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot x=u+\omega \left(vt- \frac 12\omega u t^2\right)\quad \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot x=u+\omega vt- \frac 12\omega^2 u t^2 \end{eqnarray*}$ und integrieren

$\begin{eqnarray*} x(t)=ut+\frac 12\omega vt- \frac 16\omega^2 u t^3 \end{eqnarray*}$

Hier wären nur noch die Anfangsgeschwindigkeiten u und v zu bestimmen. Das mache ich später.

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