Matheolympiade

28.04.2020, 18:29

Heino

Matheolympiade

Meine Frage:
Ich hab mir heute den ganzen Tag den Kopf über die Aufgabe die vierte Aufgabe der 2. Runde der 54. Matheolympiade für 12. Klässler zerbrochen und bin kein Stückchen weiter gekommen. Habt ihr vielleicht einen kleinen Tipp, der mich auf dem richtigen Weg führt?

Meine Ideen:
Aufgabe: Man untersuche, für welche positiven ganzen Zahlen n es positive ganze Zahlen a1, a2, . . . , an
gibt, von denen keine zwei gleich sind und für die gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+...\frac{1}{an}=1 \end{eqnarray*}$

28.04.2020, 18:35

HAL 9000

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Ich verrate dir mal schon das Ergebnis - die Aufgabe bleibt dennoch interessant: Es klappt für alle $\begin{eqnarray*} n\neq 2 \end{eqnarray*}$ .

Ein möglicher Beweis folgt dieser Strategie:

1.Nachweisen, dass es für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ nicht klappt.

2.Für alle anderen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt man direkt ein solches n-Tupel $\begin{eqnarray*} (a_1,\ldots,a_n) \end{eqnarray*}$ an.

Bei 2. könnte man damit anfangen, mal ein passendes Beispiel für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ zu finden. Das ist dann gewissermaßen der Induktionsanfang...

28.04.2020, 19:03

Heino

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Wie machst du das?! Du musstest wahrscheinlich nicht einmal darüber nachdenken smile

Reicht es als Beweis zu sagen dass man für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ findet and für alle anderen n die Werte von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ durch 2 dividiert und anschließend $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hinzufügt?

28.04.2020, 19:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Heino
die Werte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Da hast du dich verrechnet: Deren Summe ist nicht 1. unglücklich

Zitat:

Original von Heino
für alle anderen n die Werte von $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ durch 2 dividiert und anschließend $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hinzufügt?

Diese Idee indes ist goldrichtig, und de facto schon der gesamte Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ . Das hätte ich wiederum so schnell nicht erwartet, daher: Bravo! Freude

28.04.2020, 19:24

Heino

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Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Ich hatte wohl einen falschen Ansatz. Ich konnte auf die schnelle nur für n=3 eine Lösung finden. Danach probierte ich mit dem geometrischen Mittel etwas herum, kam aber auf nichts substantielles

28.04.2020, 19:32

HAL 9000

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Naja, damit ist 2) ja nun komplett. Freude

Und ich nehme an, der Beweis zu 1) bereitet auch kein großes Kopfzerbrechen - oder?

28.04.2020, 19:53

Heino

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Du liegst wie immer richtig, vielen Dank!

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