Bogenlänge numerisch ermitteln

29.04.2020, 15:02

PikAss

Bogenlänge numerisch ermitteln

Grüße,
es geht um folgende Aufgabe:

Gegeben ist das die Funktion: f(x)= e^(x / 7) sin(x) - ln(2x + 3.2) in den Grenzen von -1 bis 2.
Es Soll die Weglänge numerisch ermittelt werden.

Zu meinem Lösungsansatz zum numerischen ermitteln der Bogenlänge:

1. 1.Ableitung bilden:
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\mathrm{e}^\frac{x}{7}\sin\left(x\right)}{7}+\mathrm{e}^\frac{x}{7}\cos\left(x\right)-\dfrac{2}{2x+\frac{16}{5}} \end{eqnarray*}$

2.in die Formel für die Bogenlänge einsetzen:
$\begin{eqnarray*} s = \int_{a}^{b } \sqrt{1+ (f')^{2} } \, dx \,= L \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s =\int_{-1}^{2} \sqrt{1+((56{e}^(1/7x)cos(x)+8e^(1/7x) sin(x)+ 35xe^(1/7x)Cos(x)+5xe^(1/7)sin(x)-35)/(35x+56))^{2}}\,dx\,= 3,282 \end{eqnarray*}$
Ergebnis zum testen habe ich hier ermittel:
https://www.geogebra.org/m/UG4EprSv

3.Ich habe mich dann zu erst für die Simpsonregel entschieden und aufgrund der langen Formel das ganze in LibreOffice Calc erstellt:
dazu meine Formel:
=WURZEL(1+((56*EXP(1/7*D5*COS(D5))+(8*EXP(1/7*D5*SIN(D5))+(35*D5*EXP(1/7*D5*COS(D5))+(5*D5*EXP(1/7*D5*SIN(D5))-35)))))/((35*D5+56)))^2

Mit der Simpsonregel war mir allerdings die Ablage zu hoch, also habe ich die Trapezformel genutzt. Sie da die Ablage ist viel geringer.
Im Anhang habe ich mal die Tabelle als Bild hochgeladen.
Habe ich da irgendwo einen Fehler drin?

29.04.2020, 16:07

HAL 9000

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Das zweite Ergebnis ist deutlich näher am tatsächlichen Resultat (Matlab-MuPad spuckt als Bogenlänge 3.281624604 aus). Ist es diese Differenz, die du mit "Ablage" meinst - dieser Terminus ist mir in dieser Bedeutung bisher nicht begegnet.

Was mich schon sehr wundert ist, dass du für x<0 die Intervallänge 0.5, für x>0 dann aber 0.25 gewählt hast. Sowohl Simpson als auch Trapez gehen (in der einfachen Form mit bloßer Summation der Funktionswerte) von gleichen Teilintervalllängen aus!

Ach ja, noch was: Was hast du da in der Tabelle für Werte? Sind das bereits die $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+(f'(x))^2} \end{eqnarray*}$ ? Kann aber auch nicht sein, denn diese Werte müssen sämtlich $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, was dein erster Wert $\begin{eqnarray*} \approx 0.42 \end{eqnarray*}$ grandios verfehlt...

EDIT: Ich denke, die Ursache für diese seltsamen Werte liegen in einer ganzen Reihe falscher Klammersetzungen in deiner Tabellenkalkformel:

Was du da geschrieben hast, setzt eher die Terme $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{7}\sin(x)} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{7}}\sin(x) \end{eqnarray*}$ um, u.ä.

=================================================

Fazit: Es ist eine ganze Menge aufzuräumen in deiner Rechnung. Manche Erschwernis hast du dir selbst beigefügt:

Warum den ganzen Schmus auf den gemeinsamen Hauptnenner (35x+56) heben? Das hat das ganze nur unnötig aufgebläht... Darstellung

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_{-1}^2 \sqrt{1+ \left( e^{\frac{x}{7}}\left( \frac{\sin(x)}{7}+\cos(x)\right) - \frac{5}{5x+8}\right)^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

empfinde ich als übersichtlicher und überdies kürzer in einer Tabellenkalk-Formel umsetzbar.

code:
1:	=WURZEL(1+(EXP(D5/7)(SIN(D5)/7+COS(D5))-5/(5D5+8))^2)

29.04.2020, 16:37

PikAss

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Richtig,
mit der Ablage habe ich die Abweichung gemeint.
Mit den Intervallen stimmt, da habe ich mich wohl vertippt.
Mit den richtigen Intervallen weicht das Ergebnis nun aber leider noch mehr ab.
Jetzt bin ich bei 3,74056... statt den 3,282...

Grüße, PikAss

29.04.2020, 16:41

HAL 9000

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Ich hab meinen Beitrag inzwischen BETRÄCHTLICH erweitert, hast du wohl noch nicht mitgekriegt...

29.04.2020, 16:49

PikAss

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Ja stimmt.
Ich führe das jetzt noch mal mit deinem Ratschlag durch.

Okay, jetzt sieht das so aus:

29.04.2020, 17:05

HAL 9000

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Ich hab nach wie vor andere Funktionswerte, mit genau der Formel, die ich oben gepostet hatte. Wollen wir mal raten, wer sich mehr konzentriert hat?

29.04.2020, 17:13

PikAss

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Die Antwort kann ich mir schon denken.
Wobei ich mit deiner Formel aus deinem editierten Post gearbeitet habe.

=WURZEL(1+(EXP(D5/7)*(SIN(D5)/7+COS(D5))-5/(5*D5+8))^2)

Habe ich mich bei den Intervallen vertan?
=0,6/2*(D14+2*D15)

29.04.2020, 17:20

HAL 9000

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"D5" kennzeichnet auch WIRKLICH das Argument aus der x-Spalte? Seltsam, dass du dann Werte AUCH aus der D-Spalte summierst - ich hätte dann die E-Spalte erwartet...

Stell mal bitte diese dummen Excel-(oder was auch immer)-Fehler ab, das ist bald nicht mehr zum Aushalten.

29.04.2020, 17:41

PikAss

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Stimmt, da habe ich in Calc Mist gebaut.

29.04.2020, 18:02

HAL 9000

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Nach langer Mühsal die richtigen Werte. Freude

Und wenn du jetzt auch noch den Simpsonwert berechnest wirst du feststellen, dass der um einiges näher dran ist am echten Integralwert als der Trapezwert.

29.04.2020, 18:12

PikAss

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Tatsächlich,
ich bedanke mich für deine Geduld.

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