Newtonsche 3/8 Regel

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29.04.2020, 18:42

lxrd

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Newtonsche 3/8 Regel

Meine Frage:
Ist die Newtonsche 3/8 Regel stets exakt, wenn f ein Polynom vom gerade < 4 ist?

Meine Ideen:

29.04.2020, 20:16

Leopold

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RE: Newtonsche 3/8 Regel

Zitat:

Original von lxrd
ein Polynom vom gerade < 4 ist?

Da geht es wohl um ein Polynom vom Grad<4.

Betrachten wir Funktionen $\begin{align*} f: \ [a,b] \to \mathbb{R} \end{align*}$ . Wenn ich den Wikipedia-Beitrag richtig gelesen habe, dann ist

$\begin{align*} N(f) = \frac{b-a}{8} \cdot \left( f(a) + 3 \cdot f \left( \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b \right) + 3 \cdot f \left( \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b \right) + f(b) \right) \end{align*}$

die Newtonsche 3/8-Regel zur Approximation des Integrals $\begin{align*} \int_a^b f(x) ~ \dd x \end{align*}$ . Und jetzt geht es darum, ob

$\begin{align*} \int_a^b p(x) ~ \dd x \ = \ N(p) \end{align*}$

für Polynome $\begin{align*} p \end{align*}$ von einem Grad<4 gilt.

Offenbar ist der Operator $\begin{align*} N \end{align*}$ linear. Für Funktionen $\begin{align*} f,g \end{align*}$ vom obigen Typ und $\begin{align*} \lambda \in \mathbb{R} \end{align*}$ gelten nämlich

$\begin{align*} N(f+g) = N(f) + N(g) \, , \ \ N(\lambda f) = \lambda N(f) \end{align*}$

Je nach Erfahrung sieht man so etwas mit bloßem Auge oder muß es andernfalls schnell beweisen. Diese Linearität erlaubt es, die Frage auf die Potenzfunktionen $\begin{align*} p_n(x) = x^n \end{align*}$ zu begrenzen:

$\begin{align*} \int_a^b p_n(x) ~ \dd x \ = \ N \left( p_n \right) \end{align*}$ für $\begin{align*} 0 \leq n < 4 \end{align*}$

Und das muß man nun auf irgendeine mehr oder weniger geschickte Art nachrechnen.

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