Einheit

29.04.2020, 22:48

O-leg

Einheit

Meine Frage:
Guten Abend...

ich hänge an einer Stelle. Und zwar will ich zeigen, dass ein Bruch von Ringelementen x,y eines kommutativen unitären Rings R eine Einheit in R ist.

Meine Ideen:
Im Skript wurde gezeigt, dass sowohl x/y als auch y/x im Ring ist. Warum sind dann x/y und y/x Einheiten?

Ich verstehe es nicht...

30.04.2020, 07:09

Elvis

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Multipliziere die beiden Elemente x/y und y/x miteinander.

30.04.2020, 07:57

Leopold

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Der Sinn der Aussage erschließt sich mir nicht ganz. Ringelemente kann man im allgemeinen nicht dividieren. Höchstens könnte man das, wenn $\begin{align*} x,y \end{align*}$ bereits Einheiten sind. Oder was sind das für $\begin{align*} x,y \end{align*}$ ? Wo kommen die her? Da fehlen Informationen.

Ich könnte mir eine Ringkette $\begin{align*} R \subset S \end{align*}$ vorstellen, so daß $\begin{align*} x,y \end{align*}$ Einheiten von $\begin{align*} S \end{align*}$ sind. Wenn dann $\begin{align*} \frac{x}{y}, \frac{y}{x} \in R \end{align*}$ gilt, dann müssen diese beiden Quotienten Einheiten von $\begin{align*} R \end{align*}$ sein. So vielleicht.

Um ein konkretes Beispiel zu machen, nehme ich $\begin{align*} R = \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] \end{align*}$ (abbrechende Dualbrüche) und $\begin{align*} S = \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} , \frac{1}{5} \right] \end{align*}$ (abbrechende Dezimalbrüche).

$\begin{align*} x = 0{,}8 \end{align*}$ und $\begin{align*} y = 0{,}4 \end{align*}$ sind Einheiten von $\begin{align*} S \end{align*}$ , denn $\begin{align*} 0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0{,}4 \cdot 2{,}5 = 1 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \frac{x}{y} = 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{y}{x} = 0{,}5 \end{align*}$ sind nun beides Einheiten in $\begin{align*} R \end{align*}$ .

Wenn es um so etwas geht, dann ist dein Problem ein triviales. Elvis hat dazu alles gesagt.

Wenn es um etwas anderes geht, brauchen wir weitere Informationen.

30.04.2020, 10:29

Elvis

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Ich war so frei, $\begin{eqnarray*} \frac x y \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x\cdot y^{-1} \end{eqnarray*}$ zu interpretieren, was als Schreibweise in Ringen immer den undefinierten Brüchen vorzuziehen ist. Dann ist alles klar, weil die multiplikativen inversen Elemente genau dann existieren, wenn die Elemente Einheiten sind.

30.04.2020, 10:38

O-leg

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Danke für die Antworten.

Ja, meine Infos waren etwas spärlich. Und ich hatte selbst was falsch verstanden: Also wir haben die beiden Elemente x, y aus einem kommutativen, unitären Ring R (sogar Integritätsring).

Sowohl x/y als auch als auch y/x liegen in R.

Ich glaube jetzt habe ich es: Wenn x/y und y/x in R liegen, dann teilen sie sich gegenseitig. Genau dann sind sie auch assoziiert: y = u*x bzw. x = u*y.

Wenn ich jetzt durch x bzw. y teile, dann steht ja da, dass x/y = u bzw. y/x = u ist. Stimmt das so?

30.04.2020, 10:44

O-leg

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Entschuldige Elvis,

hatte während deine Antwort kam schon geschrieben. Ah du meinst, weil der Test $\begin{eqnarray*} x\cdot y^{-1} \end{eqnarray*}$ (mit unbestimmtem $\begin{eqnarray*} y^{-1} \end{eqnarray*}$ ) positiv verläuft in dem Sinne, dass das Produkt eine Ringelement ist, dann muss $\begin{eqnarray*} y^{-1} \end{eqnarray*}$ existieren? Genauso mit $\begin{eqnarray*} y\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$ . Also sind x,y Einheiten wegen deine genau-dann-wenn-Aussage?

Habe ich das so richtig verstanden?

30.04.2020, 10:57

Elvis

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Alles ganz easy. $\begin{eqnarray*} x=ay, y=bx \end{eqnarray*}$ führt genau so zum Ziel. Wenn $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht existiert, weiß ich aber auch nicht, wie das gehen soll. $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} xx^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ ist, und das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist.

30.04.2020, 12:16

Leopold

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Ich verstehe nur Bahnhof. Könnte hier, bitte, mal jemand sagen, was eigentlich vorausgesetzt und was behauptet wird. Und bitte ganz klar: "Sei ... blablabla ... Dann ... blablabla ... " Bisher war ich davon ausgegangen, daß $\begin{align*} \frac{x}{y}, \frac{y}{x} \in R \end{align*}$ vorausgesetzt wird. Oder wird das behauptet? Wenn aber nun $\begin{align*} x,y \in R \end{align*}$ auch noch gelten soll, dann sind diese Quotienten doch nur bildbar, wenn $\begin{align*} x,y \end{align*}$ Einheiten sind.

30.04.2020, 12:34

Elvis

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Am Anfang steht "... ein Bruch von Ringelementen x,y eines kommutativen unitären Rings R ...". Also sind x und y Einheiten, und alles ist trivial.

30.04.2020, 15:03

O-leg

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Die Gesamtheit ist so:

Ich habe x=(1-v), y=(1-w) aus einem Integritätsbereich R. v und w sind primitive p-te Einheitswurzeln.

Ich kann x/y und y/x bilden in dem Sinne, dass die Ergebnisse wieder aus R sind. Das heißt ja, x und y teilen sich gegenseitig. Das ist genau dann der Fall, wenn x~y gilt, also x=u*y bzw. y=u'*x. Wenn ich jetzt durch y bzw. x teile, steht ja da

x/y=u bzw. y/x = u'

Also sind x/y und y/x Einheiten, weil sie ja jeweils gleich einer Einheit sind, oder?

30.04.2020, 15:17

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \frac x y\cdot \frac y x=\frac {xy} {yx} =\frac {xy} {xy} =\frac x x\cdot \frac y y=1\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$
Wir waren uns doch einig darüber, dass das trivial ist. (Siehe meine erste Antwort.)

30.04.2020, 16:59

O-leg

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \frac x y\cdot \frac y x=\frac {xy} {yx} =\frac {xy} {xy} =\frac x x\cdot \frac y y=1\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$
Wir waren uns doch einig darüber, dass das trivial ist. (Siehe meine erste Antwort.)

Irgendwas blockiert mein Verständnis:

Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta^r}{1-\zeta} \end{eqnarray*}$ , r<p, eine Einheit ist, eine primitive p-te Einheitswurzel ist;

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta^r}{1-\zeta} = 1+\zeta +...+\zeta^{r-1} \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis ist also ein Ringelement. Jetzt drehe ich das um: $\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta}{1-\zeta^r} \end{eqnarray*}$ . Wähle nun die primitive p-te Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} \zeta' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \zeta'=\zeta^r \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich wieder $\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta}{1-\zeta^r} = \frac{1-\zeta'^s}{1-\zeta'} = \frac{1-\zeta^r}{1-\zeta} = 1+\zeta' +...+\zeta'^{s-1} \end{eqnarray*}$ .

Ich schaffe es nicht, dass mit deiner Aussage zu verbinden....

30.04.2020, 17:02

O-leg

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Sorry, habe in meinem zweiten Satz sollte es "..., wobei $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ eine primitive p-te Einheitswurzel ist" heißen.

30.04.2020, 19:10

Elvis

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Was immer du tust, sobald du in Ringen Brüche schreibst, die man umkehren kann, stehen im Zähler und Nenner Einheiten. Wenn das nicht so wäre, wären die Brüche undefiniert.

30.04.2020, 20:16

O-leg

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Ach ja... natürlich Forum Kloppe

Danke!

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