Elemente vs. Ideale

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MsfG Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente vs. Ideale
Meine Frage:
Hi Leute,

ich kämpfe mich gerade durch ein Thema für meinen Seminarvortrag durch. Die Vorarbeit mit Zerlegung von Idealen in Primideale usw. werden Referenten vor mir machen. Der Dozent meinte, ich soll einfach mal machen.

Das sagt sich leicht, wenn ich z.B. die ganzen Teilerbeziehungen bei Idealen noch nicht kenne.

Was Ideale sind, weiß ich aus Algebra, und auch dass I+J und I*J wieder Ideale sind. Was I | J bedeutet, habe ich mittlerweile selbst recherchiert.

Meine Ideen:
Kann ich denn Ideale I,J,... eines Rings R wie Ringelemente behandeln? Also wenn ich z.B. I*J = A³ habe für teilerfremde I,J.

In einem faktoriellen Ring könnte ich das Ringelement A in irreduzible Elemente A = PQ... zerlegen. Tun wir mal so, als gäbe es keine Vielfachheit. I bzw. J wird dann von mindestens einem der P,Q,... geteilt, diese(s) teilt/teilen dann aber nicht J bzw. I. Wegen ³ müssen denn I und J 3er-Potenzen sein.

Gilt dass denn auch, wenn ich statt Elemente eines faktoriellen Rings eben Ideale habe?

MfG Max
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Durchschnitt und Quotient von zwei Idealen ist auch ein Ideal. Deine Frage möchte ich lieber nicht beantworten, wenn du etwas konkreter wirst, darfst du gerne noch mehr Fragen stellen. Die allgemeine Idealtheorie ist etwas kompliziert, da wage ich nicht, Fragen zu beantworten, die ich nicht vollständig verstanden habe.
MsfG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Die allgemeine Idealtheorie ist etwas kompliziert

Ja geschockt

Also die Körper und Ringe zum Glück "nur" zyklonische Körper mit ihren Ganzheitsringen, auch nichtfaktorielle. In einem Buch, das ich gerade studiere, werden nach Lust und Laune mal die Klammern von Hauptidealen geschrieben und mal nicht, als ob das völlig egal wäre. So teilt ein Ideal halt plötzlich mal ein Element. Solche überheblichen Autoren kann ich überhaupt nicht leiden, die sich nicht im geringsten in ihre Leser hineinversetzen wollen.

Kennst du zufällig eine gute Übersicht, in der Rechnen mit Idealen dargestellt wird?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne nur "Idealtheorie" von Wolfgang Krull (1935,...) und "Algebra II" von B.L.van der Waerden (1931,...). Gute Übersicht, aber wie gesagt "etwas kompliziert". Die historisch vorhergehende Arbeit "Idealtheorie in Ringbereichen." In: Mathematische Annalen. 83, 1921, S. 24–66, GDZ ( https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0083?tify= Seite 24-66) von Emmy Noether kenne ich nur dem Namen nach, habe ich noch nicht studiert, werde ich bestimmt noch nachholen, wenn ich lange genug lebe.

Wie man schnell und einfach Ideale verstehen kann, weiß ich nicht. Ich habe immer nur das Nötigste anwendungsbezogen gelernt und benutzt. Deshalb habe ich dir auch empfohlen, deinen Themenbereich erst einmal abzustecken, und dann kannst du mit konkreten Fragen kommen und konkrete Antworten erhalten.

Was sind denn zyklonische Körper ? Zylonen kenne ich vom Kampfstern Galactica, die haben als Roboter auch zylonische Körper, aber mit Idealen kann ich sie nicht in Verbindung bringen. Augenzwinkern

Die Teilbarkeitsrelation für Hauptideale wird üblicherweise auf die Erzeuger der Hauptideale übertragen, weil das kürzer ist und nicht zu Verwechslungen führen kann. Verantwortungsvolle Autoren wie Helmut Hasse ("Zahlbericht" I 1965, II 1970, "Vorlesungen über Zahlentheorie" 1950) und viele andere haben immer ihre Schreibweisen ausführlich dargelegt. So ist ja auch in ganzrationalen Zahlen völlig gleichbedeutend.

Franz Lemmermeyer "Quadratische Zahlkörper" 2017 rechnet meisterhaft mit Idealen, ebenso natürlich die Klassiker Borewics/Safarevic "Zahlentheorie" 1966, die eine wunderbar abstrakte algebraische Divisorentheorie aufbauen. In diesen Büchern steht mehr als du jemals wissen möchtest.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Frage. Sie hat mich motiviert, die noethersche Arbeit zu lesen. Wahrlich ein unübertrefflicher Genuss. Studiere dieses Werk, und du wirst genug Wissen und Material für deine Seminararbeit haben. Vor 100 Jahren haben die MathematikerInnen noch ausführlich erklärt, was sie tun, andererseits war Emmy Noether in ihrem Denken und in ihrer Sprache schon so modern, dass sie auch heute noch sehr gut lesbar ist. Beachte, dass sie über allgemeine Idealtheorie in Ringen mit "Minimalbedingung für Teilbarkeit" arbeitete, wobei diese eine "Maximalbedingung für Ideale" ist, und dass man diese Ringe heute nicht ganz zufällig "noethersche Ringe" nennt. Mechthild Koreuber nennt Noethers "Idealtheorie..." den Beginn der begrifflichen Mathematik (siehe "Emmy Noether, die Noether-Schule und die moderne Algebra" Springer Spektrum).
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