Untergruppen der Ordnung p

30.04.2020, 13:55

Phasma

Untergruppen der Ordnung p

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die additive Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

a) Wieviele Untergruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ besitzt $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ?

b) Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ gegeben. Man zeige, dass es genau eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} H\subset G \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gibt, für die $\begin{eqnarray*} x+H=y+H \end{eqnarray*}$ gilt.

c) Zu einer sechstägigen Konferenz treffen sich 25 Teilnehmer. Die sechs gemeinsamen Mittagessen nehmen sie an 5 Tischen mit je 5 Plätzen ein. Ist es möglich, täglich wechselnde Sitzordnungen derart festzulegen, dass jeder Teilnehmer mit jedem anderen genau einmal am gleichen Tisch sitzt?

Zu a): In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt es ja $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ Elemente. Mit Ausnahme des neutralen Elements haben die doch alle Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , oder? Erzeugt dann jedes von denen auch eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ? Dann wären das $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ Stück.

Zu b) Hier weiß ich leider nicht weiter. Ich habe versucht, mit kleinen Zahlen Beispiele zu machen, um einen Kandidaten für dieses $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zu finden, aber erfolglos.

Wie sieht man das/kann jemand helfen?

30.04.2020, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phasma
Erzeugt dann jedes von denen auch eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ?

Das schon, aber diese Untergruppen sind nicht alle voneinander verschieden. Tatsächlich sind es viel, viel weniger als $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ , denk nochmal genau nach.

Vielleicht als Anstoß: Jedes Nichtnull-Element erzeugt eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , welche aus der 0 sowie $\begin{eqnarray*} (p-1) \end{eqnarray*}$ Nichtnull-Elementen besteht. Dabei erzeugt jedes dieser letzteren Nichtnull-Elemente auch wieder dasselbe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ...

30.04.2020, 14:20

Elvis

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a) Die Untergruppen der Ordnung p sind nicht disjunkt. Schau dir die Elemente für p=2 und p=3 an, dann erkennst du die Gesetzmäßigkeit. Oder überlege einfach, wieviele Elemente eine Untergruppe der Ordnung p hat und wieviele im Durchschnitt liegen.
b) Eindeutigkeit ist leicht zu sehen. Daraus folgt sofort auch die Existenz. Schreibe x+H=y+H in äquivalente Darstellungen um. Der Witz liegt auch darin, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung p gibt.
c) Das ist mir nicht abstrakt genug, ich habe kein Gefühl für angewandte Mathematik.

30.04.2020, 15:35

Phasma

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vielleicht als Anstoß: Jedes Nichtnull-Element erzeugt eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , welche aus der 0 sowie $\begin{eqnarray*} (p-1) \end{eqnarray*}$ Nichtnull-Elementen besteht. Dabei erzeugt jedes dieser letzteren Nichtnull-Elemente auch wieder dasselbe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ...

Stimmt! Also hat man mit einer Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Nichtnull-Elemente abgehandelt, die alle dieselbe Untergruppe erzeugen.
Also bleiben noch $\begin{eqnarray*} \frac{p^2-1}{p-1}=p+1 \end{eqnarray*}$ verschiedene Untergruppen.

Zitat:

Original von Elvis
b) Eindeutigkeit ist leicht zu sehen. Daraus folgt sofort auch die Existenz. Schreibe x+H=y+H in äquivalente Darstellungen um. Der Witz liegt auch darin, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung p gibt.

Also eine äquivalente Darstellung wäre $\begin{eqnarray*} (x-y)+H=H \end{eqnarray*}$ . Darf ich das so umformen? Das deutet darauf hin, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} (x-y) \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe sein muss.
Nehmen wir an, es gäbe eine andere Untergruppe $\begin{eqnarray*} <z> \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \neq x-y \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} z \neq k\cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ ), die diese Eigenschaft erfüllt. Dann kann aber unmöglich z.B. $\begin{eqnarray*} (x-y)+z \end{eqnarray*}$ wieder ein Element aus $\begin{eqnarray*} <z> \end{eqnarray*}$ sein, denn $\begin{eqnarray*} (x-y) \end{eqnarray*}$ liegt ja nicht in $\begin{eqnarray*} <z> \end{eqnarray*}$ .
Wäre das ein ausreichender Beweis für die Eindeutigkeit? Ich habe das Gefühl, dass ich so etwas nicht gut formulieren kann.

Zur Existenz: Wenn nun $\begin{eqnarray*} H=<x-y> \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre natürlich $\begin{eqnarray*} (x-y)+h \in H \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ .

30.04.2020, 15:38

Elvis

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Die Existenz ist genauso richtig. Und weil da ein Gleichheitszeichen steht, ist H auch eindeutig bestimmt.

30.04.2020, 15:50

Phasma

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Welches Gleichheitszeichen meinst du? Wenn ich nur von der Existenz ausgehe, könnte es doch im Prinzip noch eine andere Untergruppe mit der selben Eigenschaft geben. Also, "logisch" ist mir das schon klar, dass es keine andere geben kann. Ich habe nur immer Schwierigkeiten, das ordentlich mathematisch aufzuschreiben.

30.04.2020, 18:19

Elvis

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Das ist wie beim Aufsatzschreiben. Man sammelt Stoff, macht eine Gliederung und schreibt so kurz wie möglich und so umfassend wie nötig alles wohlformuliert auf. (In der Mathematik ist kurz besser, in der Literatur umfassend.)

Stoffsammlung:
$\begin{eqnarray*} x\ne y\Rightarrow 1\ne x-y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+H=y+H\Leftrightarrow x\equiv y\mod H\Leftrightarrow x-y\in H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\ne x-y\in H, H \end{eqnarray*}$ zyklisch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow H=<x-y> \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} x\ne y\Rightarrow \exists ! H<G:x+H=y+H \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} x\ne y, H \end{eqnarray*}$ zyklisch $\begin{eqnarray*} , x+H=y+H\Rightarrow 1\ne x-y\in H\Rightarrow H=<x-y> \end{eqnarray*}$ , also existiert $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und ist durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. qed

(gemeint war das allerletzte Gleichheitszeichen im Beweis)

30.04.2020, 18:37

Phasma

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Alles klar, danke!

Zu c): Da muss man sicher a) und b) anwenden. Wahrscheinlich sollte man die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z \times \mathbb Z/5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ betrachten. Die hat 25 Elemente, was den 25 Teilnehmern entsprechen könnte. Nach a) gibt es 6 Untergruppen der Ordnung 5. Das deutet auf die 6 Mittagessen hin.
Aber so recht kann ich das Puzzle nicht vervollständigen. Die Untergruppen sind hier ja erstmal "unter sich". Man muss sicher noch b) benutzen, aber unter $\begin{eqnarray*} x+H \end{eqnarray*}$ kann ich mir in diesem Kontext nichts vorstellen. Wie addiert man einen Teilnehmer zu einer Untergruppe aus 5 Teilnehmern?!

30.04.2020, 19:04

Elvis

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Eben, das ist verflixte Anwendung. fröhlich

30.04.2020, 19:29

Zuschauer

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Elvis, ich wünschte du würdest nur einmal deine verqueren persönlichen Ansichten aus einem Thema raus lassen. unglücklich

30.04.2020, 19:33

Elvis

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Nö, Spaß muss sein. Wenn du etwas zum Thema beitragen kannst, dann mach das doch. Ich kann's nicht, und das sage ich auch ganz offen.

Nachtrag zur "Stoffsammlung": Es muss auch noch $\begin{eqnarray*} ord(H)=p \end{eqnarray*}$ prim vorausgesetzt werden, damit $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ erzeugendes Element ist.

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