Erhaltung des Vektorprodukts bei Spiegelung

30.04.2020, 19:41

ThisGuy

Erhaltung des Vektorprodukts bei Spiegelung

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:

Gegeben sei ein dreidimensionaler normierter Vektor \vec{n}. Alle Vektoren senkrecht zu \vec{n} spannen eine Ebene E auf.

a) Zerlegen Sie einen beliebigen dreidimensionalen Vektor \vec{a} in die Summe zweier Vektoren, von denen einer parallel zu \vec{n} sei und einer in der Ebene E liege.

b) Spiegeln Sie den Vektor \vec{a} an der Ebene E. Geben Sie also einen Vektor \vec{a}s an, der das Spiegelbild von \vec{a} ist.

c) Vergleichen Sie das Vektorprodukt zweier beliebiger Vektoren mit dem ihrer beiden Spiegelbilder. Bleibt das Vektorprodukt bei der Spiegelung erhalten?

Bemerkung: Rechnen Sie allgemein und nicht in einer Komponentendarstellung.

Aufgabe a) und b) sind erledigt, nur an der c) sitze ich mit Kommilitonen bereits seit Stunden.
Wenn mir jemand sagen könnte wie diese funktioniert, wäre ich sehr dankbar! smile

Meine Ideen:
Unsere Idee war dass wir das Vektorprodukt der beiden beliebigen Vektoren und ihrer Spiegelbilder, durch ein Vektorprodukt aus ihren orthogonalen und parallelen Komponenten darstellen. Dadurch konnten wir, dank der Distributivität des Vektorprodukts, durch ausmultiplizieren, die Vektorprodukte als Summe der Komponenten ihrer einzelnen Kreuzprodukte darstellen. Da die orthogonalen Komponenten zueinander parallel sind und sie dadurch Vielfache voneinander sind, wird das Vektorprodukt von ihnen gleich Null und fällt weg. Wenn das Vektorprodukt der parallelen Komponenten auch gleich Null werden würde, würden sie dadurch ebenfalls wegfallen. Dadurch würde nur noch die Summe aus den Vektorprodukten der nicht gleichen Komponenten verbleiben, welche wiederum, ungeachtet des Vorzeichens, sowohl im Falle des Vektorprodukts der beliebigen Vektoren, als auch ihrer Spiegelungen, gleich sind. Dadurch wäre bewiesen, dass das Vektorprodukt bei der Spiegelung teilweise erhalten bleibt. Seine Richtung ändert sich, aber der Betrag bleibt erhalten. Das Problem ist, dass wir es nicht geschafft haben zu beweisen, dass das Vektorprodukt der parallelen Komponenten für ALLE beliebigen Vektoren gleich Null ist.

30.04.2020, 20:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Erhaltung des Vektorproduts bei Spiegelung

Zitat:

verbessertes Original von ThisGuy
Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben:

Gegeben sei ein dreidimensionaler normierter Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ . Alle Vektoren senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ spannen eine Ebene E auf. Wahrscheinlich soll diese Ebene durch den Ursprung laufen (sonst gäbe es unendlich viele).

a) Zerlegen Sie einen beliebigen dreidimensionalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ in die Summe zweier Vektoren, von denen einer parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ sei und einer in der Ebene E liege.

b) Spiegeln Sie den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ an der Ebene E. Geben Sie also einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a}s \end{eqnarray*}$ an, der das Spiegelbild von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ist.

c) Vergleichen Sie das Vektorprodukt zweier beliebiger Vektoren mit dem ihrer beiden Spiegelbilder. Bleibt das Vektorprodukt bei der Spiegelung erhalten?

Bemerkung: Rechnen Sie allgemein und nicht in einer Komponentendarstellung.

Aufgabe a) und b) sind erledigt, nur an der c) sitze ich mit Kommilitonen bereits seit Stunden.
Wenn mir jemand sagen könnte wie diese funktioniert, wäre ich sehr dankbar! smile

Seien die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann lassen sie sich aufspalten:

$\begin{eqnarray*} \vec a= \vec a_{\parallel}+\vec a_{\perp} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec b= \vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp} \end{eqnarray*}$

und leicht spiegeln:

$\begin{eqnarray*} \vec a'= \vec a_{\parallel}-\vec a_{\perp} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec b'= \vec b_{\parallel}-\vec b_{\perp} \end{eqnarray*}$

Dann schauen wir mal, was die Skalarprodukte machen.

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = (\vec a_{\parallel}+\vec a_{\perp})\cdot (\vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp})=\vec a_{\parallel}\cdot \vec b_{\parallel}+\vec a_{\perp}\cdot \vec b_{\perp} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec a'\cdot \vec b'= (\vec a_{\parallel}-\vec a_{\perp})\cdot (\vec b_{\parallel}-\vec b_{\perp})=\vec a_{\parallel}\cdot \vec b_{\parallel}+\vec a_{\perp}\cdot \vec b_{\perp}=\vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

30.04.2020, 21:44

thisguy

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RE: Erhaltung des Vektorproduts bei Spiegelung
Danke für die Antwort, aber in der Aufgabe c) ist nach dem Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt gefragt und nicht nach dem Skalarprodukt. Oder verstehe ich das falsch und das hat was mit dem Kreuzprodukt zu tun? Big Laugh

30.04.2020, 22:34

Leopold

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Die gestrichenen Vektoren seien die Spiegelbilder der ungestrichenen. Dann habe ich:

$\begin{align*} \vec{a}' \times \vec{b}' = \vec{a} \times \vec{b} - 2 \left( \vec{n} \vec{b} \right) \vec{a} \times \vec{n} - 2 \left( \vec{n} \vec{a} \right) \vec{n} \times \vec{b} \end{align*}$

Da dürfte wohl nicht mehr drin sein.

30.04.2020, 22:43

Nachtfrager

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Zitat:

Spiegeln Sie den Vektor \vec{a} an der Ebene E

Mag mir jemand erklären wie man Vektoren (meines Wissens sind Vektoren ortsunabhängig) spiegeln kann ?
Das verstehe ich nicht. verwirrt

30.04.2020, 22:48

Leopold

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Das hat mich auch irritiert. Hier werden wohl Punkte und Ortsvektoren identifiziert. (Im übrigen kann man auch ortsunabhängige Vektoren spiegeln. Die gespiegelten Vektoren sind genau so ortsunabhängig).

30.04.2020, 23:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Erhaltung des Vektorproduts bei Spiegelung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \vec a= \vec a_{\parallel}+\vec a_{\perp} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec b= \vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp} \end{eqnarray*}$

und leicht spiegeln:

$\begin{eqnarray*} \vec a'= \vec a_{\parallel}-\vec a_{\perp} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec b'= \vec b_{\parallel}-\vec b_{\perp} \end{eqnarray*}$

Dann schauen wir mal, was die Kreuzprodukte machen. "Parallel" soll heißen "Liegt in der Ebene" und "senkrecht" soll heißen "senkrecht zur Ebene".

$\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b = (\vec a_{\parallel}+\vec a_{\perp})\times (\vec b_{\parallel}+\vec b_{\perp})=\vec a_{\parallel}\times\vec b_{\parallel}+\vec a_{\parallel}\times \vec b_{\perp}+\vec a_{\perp}\times \vec b_{\parallel}\qquad \vec a_{\perp}\times\vec b_{\perp}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec a'\times \vec b'= (\vec a_{\parallel}-\vec a_{\perp})\times (\vec b_{\parallel}-\vec b_{\perp})=\vec a_{\parallel}\times\vec b_{\parallel}-\vec a_{\parallel}\times \vec b_{\perp}-\vec a_{\perp}\times \vec b_{\parallel}=2\vec a_{\parallel}\times\vec b_{\parallel}-\vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$

Ich vergleiche das morgen mit dem was Leopold gerechnet hat. Augenzwinkern

30.04.2020, 23:28

Leopold

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@ Ulrich Ruhnau

Das kann nicht stimmen.

$\begin{align*} \vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{a}' = \begin{pmatrix} - \frac{32}{9} \\ - \frac{25}{9} \\ \frac{32}{9} \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{b}' = \begin{pmatrix} - \frac{14}{9} \\ \frac{47}{9} \\ \frac{5}{9} \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 21 \\ 4 \\ 22 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{a}' \times \vec{b}' = \begin{pmatrix} - \frac{181}{9} \\ - \frac{32}{9} \\ - \frac{206}{9} \end{pmatrix} \end{align*}$

01.05.2020, 01:09

Ehos

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Wenn $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor ist, dann kann man jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ folgendermaßen in einen senkrechten bzw. parallelen Anteil bezüglich $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ zerlegen

$\begin{eqnarray*} \vec a=\underbrace{\vec n \times (\vec a \times \vec n)}_{\text{senkrecht zu }\vec n}+\underbrace{(\vec a \cdot \vec n)\vec n}_{\text{parallel zu }\vec n} \end{eqnarray*}$

Beim Spiegeln des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ entsteht ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a' \end{eqnarray*}$ , dessen paralleler Anteil das umgekehrte Vorzeichen hat

$\begin{eqnarray*} \vec a'=\underbrace{\vec n \times (\vec a \times \vec n)}_{\text{senkrecht zu }\vec n}-\underbrace{(\vec a \cdot \vec n)\vec n}_{\text{parallel zu }\vec n} \end{eqnarray*}$

Damit kann man die Aufgabe c) durch einfaches Berechnen der Vektorprodukte $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec a' \times \vec b' \end{eqnarray*}$ leicht lösen.

01.05.2020, 02:25

Ulrich Ruhnau

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@Leopold
Ich hatte noch einen kleinen Fehler in meiner Rechnung korrigieren müssen, aber jetzt stimmen Deine Rechnung und meine Rechnung überein. Freude

Ich habe alles an Deinem Beispiel nachgerechnet. Ich hätte anfangs nicht $\begin{eqnarray*} \vec a_{\parallel}\times\vec b_{\parallel} \end{eqnarray*}$ gleich null setzen dürfen.

01.05.2020, 17:22

thisguy

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Vielen dank für all eure Antworten. Hat uns sehr geholfen Big Laugh

01.05.2020, 17:23

Leopold

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Die hier auftretende Spiegelung ist $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \right) = \vec{x} - 2 \left( \vec{n} \vec{x} \right) \vec{n} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} \left| \vec{n} \right| = 1 \end{align*}$ vorausgesetzt ist. Es gilt

$\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \times \vec{y} \right) = - \sigma \left( \vec{x} \right) \times \sigma \left( \vec{y} \right) \end{align*}$

Der Kreuzproduktvektor wird sozusagen mitgespiegelt, wie es ja auch der Anschauung entspricht.

Nachtrag: Hier noch der formale Beweis.

$\begin{align*} \sigma \left( \vec{a} \right) = \vec{a} - 2 \left( \vec{n} \vec{a} \right) \vec{n} \, , \ \ \sigma \left( \vec{b} \right) = \vec{b} - 2 \left( \vec{n} \vec{b} \right) \vec{n} \end{align*}$

Jetzt bilden wir das Vektorprodukt, rechnen dabei distributiv und vereinfachen:

$\begin{align*} \sigma \left( \vec{a} \right) \times \sigma \left( \vec{b} \right) = \vec{a} \times \vec{b} - 2 \left( \vec{n} \vec{b} \right) \vec{a} \times \vec{n} + 2 \left( \vec{n} \vec{a} \right) \vec{b} \times \vec{n} \end{align*}$

$\begin{align*} = \vec{a} \times \vec{b} - 2 \left( \left( \vec{n} \vec{b} \right) \vec{a} - \left( \vec{n} \vec{a} \right) \vec{b} \right) \times \vec{n} \end{align*}$

Jetzt verwende ich die Graßmann-Identität $\begin{align*} \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \vec{v} \right) \vec{w} \end{align*}$ und rechne oben weiter

$\begin{align*} = \vec{a} \times \vec{b} - 2 \left( \vec{n} \times \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \right) \times \vec{n} \end{align*}$

$\begin{align*} = \vec{a} \times \vec{b} + 2 \, \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \right) \end{align*}$

Und jetzt nochmals Graßmann, dieses Mal anders herum. Unter Beachtung von $\begin{align*} \vec{n}{\, ^2} = 1 \end{align*}$ erhält man weiter

$\begin{align*} = \vec{a} \times \vec{b} + 2 \left( \vec{n} \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \right) \vec{n} - 2 \, \vec{a} \times \vec{b} \end{align*}$

$\begin{align*} = - \left( \vec{a} \times \vec{b} - 2 \left( \vec{n} \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \right) \vec{n} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = - \sigma \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \end{align*}$

01.05.2020, 23:11

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
Die hier auftretende Spiegelung ist $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \right) = \vec{x} - 2 \left( \vec{n} \vec{x} \right) \vec{n} \end{align*}$ ,

Jetzt verwende ich die Graßmann-Identität $\begin{align*} \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \vec{v} \right) \vec{w} \end{align*}$ und rechne oben weiter

@ Leopold
Bei Dir weiß mal leider nie, ob Du nicht vielleicht ein Dyadisches Produkt verwendest. geschockt

Besser wäre es doch, bei jedem Skalarprodukt den Punkt zu zeichnen.

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u}\cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u}\cdot \vec{v} \right) \vec{w} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Was ist bei dieser Spiegelung gemeint? $\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \right) = \vec{x} - 2 \left( \vec{n} \vec{x} \right) \vec{n} \end{align*}$

02.05.2020, 10:13

Leopold

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Besser wäre es doch, bei jedem Skalarprodukt den Punkt zu zeichnen.

Ja, ist etwas heftig mit den vielen Produkten. Aber durch meine Klammersetzung erkennt man immer, ob der unsichtbare Malpunkt das Skalarprodukt zweier Vektoren oder die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor meint.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Bei Dir weiß mal leider nie, ob Du nicht vielleicht ein Dyadisches Produkt verwendest.

Dyadische Produkte in diesem Kontext? Das wäre doch etwas weit hergeholt.

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Was ist bei dieser Spiegelung gemeint? $\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \right) = \vec{x} - 2 \left( \vec{n} \vec{x} \right) \vec{n} \end{align*}$

Das ist genau die Spiegelung, um die es die ganze Zeit geht: $\begin{align*} \sigma \left( \vec{a} \right) = \vec{a}' \end{align*}$ , eben formelmäßig erfaßt.

02.05.2020, 10:39

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Dyadische Produkte in diesem Kontext? Das wäre doch etwas weit hergeholt.

Das nehme ich gleich wieder zurück, denn das geht ja auch. Vektoren als Spalten geschrieben, kann man das auch so schreiben ( $\begin{align*} E \end{align*}$ sei die Einheitsmatrix):

$\begin{align*} \sigma \left( \vec{x} \right) = \left( E - 2 \vec{n} \vec{n}^{\top} \right) \vec{x} \end{align*}$

(Alle unsichtbaren Malpunkte: Matrizenmultiplikation)

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