Mengenlehre Geordnetes Paar als Teil der Potenzmenge

01.05.2020, 09:47

mathestudent_gast

Mengenlehre Geordnetes Paar als Teil der Potenzmenge

Hallo zusammen,

vermutlich mache ich es mir zu einfach, deshalb hoffe ich ihr könnt mich korrigieren.
Habe eine Aufgabe zur Mengenlehre und stecke da irgendwie fest bzw. hab nicht so ein gutes Gefühl beim Lösungsweg.

$\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ seien Mengen mit $\begin{eqnarray*} a\in A,b\in B \end{eqnarray*}$ . Ein geordnetes Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ wird als Teilmenge $\begin{eqnarray*} \left\{\left\{a \right\},\left\{a,b \right\} \right\} \subseteq \mathcal{P(A\cup B)} \end{eqnarray*}$ definiert.

Zu zeigen ist nun folgende Aussage: Für $\begin{eqnarray*} a,a'\in A,b,b'\in B \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (a,b)=(a',b') \Leftrightarrow a=a' und b=b' \end{eqnarray*}$

ich würde jetzt naiv hingehen und obige Aussage zeigen durch:

$\begin{eqnarray*} (a,b)=(a',b') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left\{\left\{a \right\},\left\{a,b \right\} \right\}=\left\{\left\{a' \right\},\left\{a',b' \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich hier eine Fallunterscheidung machen muss?
Ganz lieben Dank für euren Support.

Grüße mathestudent_gast

01.05.2020, 10:34

HAL 9000

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Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten für diese "Paarmenge":

1.Fall $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ :

Hier ist $\begin{eqnarray*} \{a,b\} = \{a\} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \{\{a\},\{a,b\}\} = \{\{a\},\{a\}\} = \{\{a\}\} \end{eqnarray*}$ einelementig.

2.Fall $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ :

Hier ist $\begin{eqnarray*} \{a\}\varsubsetneqq \{a,b\} \end{eqnarray*}$ , damit sind beide Mengen echt verschieden und somit $\begin{eqnarray*} \{\{a\},\{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ echt zweielementig, wobei klar identifiziert werden kann, welches die "kleinere" Menge ist.

Diese Vorüberlegungen kannst (solltest?) du bei deiner Argumentation berücksichtigen.

01.05.2020, 16:07

Dopap

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würde man
$\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$
genauso einheitlich verwenden wie das bei
$\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$
der Fall ist, dann könnte man sich ein Ungetüm wie
$\begin{eqnarray*} \varsubsetneqq \end{eqnarray*}$ sparen. geschockt

01.05.2020, 16:28

HAL 9000

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Da man das eben leider nicht tut, bin ich auf Nummer Sicher gegangen. Augenzwinkern

01.05.2020, 20:36

Dopap

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leider, dabei wäre das ein Klacks. Bei

$\begin{eqnarray*} t \to e^{i\pi t} \end{eqnarray*}$ kann man locker ein bis 2 Augen zudrücken, auch wenn $\begin{eqnarray*} t \to \text{ e}^{\text{i}\pi t} \end{eqnarray*}$ korrekt wäre. verwirrt

Aber $\begin{eqnarray*} \int \sin(x)\, \dd x \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\int \sin(x)\, \dd x[/latex]

sollte es schon sein.

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