Lösungen einer Gleichung

01.05.2020, 14:50

Sandy2020

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Lösungen einer Gleichung

Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde,

ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Finde alle Lösungen (x, y) mit natürlichen Zahlen x und y der Gleichung:

x * y
----- = 325
x + y

Meine Ideen:
Durch Umstellen der Gleichung nach x bzw. y habe ich bereits festgestellt, das x und y größer als 325 sein müssen, da

325 * y
x = --------- und
y - 325

325 * x
y = --------- ist und der Nenner ja nichtnegativ werden darf.
x - 325

Durch Probieren habe ich auch schon einge Lösungspaare gefunden, nämlich:

326 ; 105950
330 ; 21450
338 ; 8450
350 ; 4550
390 ; 1950
450 ; 1170
494 ; 950
650 ; 650
950 ; 494
1170; 450

... ; ....

usw.

Wie kann ich nun die in Frage kommen Lösungen für x und y (bzw. das Intervall) weiter eingrenzen?

Danke für eure Hilfe

Sandy

01.05.2020, 15:25

HAL 9000

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Ich würde anders rangehen, indem ich zunächst umforme

$\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x+y} = 325 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy = 325(x+y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy - 325(x+y) + 325^2 = 325^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-325)\cdot (y-325) = 5^4\cdot 13^2 \end{eqnarray*}$

Basierend auf dieser Faktorisierung müssen sich die beiden GANZZAHLIGEN Faktoren $\begin{eqnarray*} (x-325) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y-325) \end{eqnarray*}$ in die Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray*} 5^4\cdot 13^2 \end{eqnarray*}$ reinteilen...

01.05.2020, 17:07

Sandy2020

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Danke HAL9000 !

Danke HAL9000 für deinen super Tipp!
Ich habe gerade meine durch Probieren gefundenen Lösungen überprüft und dabei festgestellt, das man bei der Faktorisierung beachten muss, dass ja ein Faktor auch gleich 1 sein kann!

Die von dir beschriebenen GANZZAHLIGEN Faktoren (x−325) und (y−325) müssen sich also in die Primfaktorzerlegung 13^2 und 5^4 reinteilen, außerdem kann auch noch einer der Faktor gleich 1 und der andere Faktor 13^2 * 5^4 sein, nur so kann das Zahlenpaar 326 und 105950 als Lösung gelten

(326 - 325) * (105950 - 325) = 1 * (13^2 * 5^4)

Nochmal vielen Dank für die super Idee!

PS: Wieviele verschiedene Faktoren können eigentlich aus der Zerlegung von 13^2 und 5^4 gebildet werden?
Mirfällt gerade nicht die passende Formel der Kombinatorik ein.

01.05.2020, 17:10

Leopold

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Geht es nur um zweifaktorige Produkte? Dann bestimme die Anzahl sämtlicher Teiler (geht mit PFZ leicht) und bilde Paare aus Teiler und Komplementärteiler.

01.05.2020, 17:16

Sandy2020

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Hallo Loepold,

ja es geht nur um Produkte mit 2 Faktoren.

Ich meinte mit meiner Frage oben, wieviele Faktoren sich aus 6 verschieden Primzahlen (also 5, 5, 5, 5, 13 und 13) bilden lassen. So zum Bsp.:

5 * (5*5*5*13*13)

(5*5) * ( 5*5*13*13)

...

13 * (5*5*5*5*13)

Dafür gibt es doch eine Formel!

Sandy

01.05.2020, 17:20

Leopold

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Ich habe dir doch genau beschrieben, wie es geht.

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01.05.2020, 17:34

Sandy2020

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Sorry, das verstehe ich jetzt nicht. Das Produkt ist mir doch gar nicht bekannt, nur die Primzahlen der beteiligten Faktoren, hast du ein Beispiel für mich?

Danke Sandy!

01.05.2020, 17:41

Leopold

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$\begin{align*} 72 = 2^{\color{red} 3} \cdot 3^{\color{red} 2} \end{align*}$ hat $\begin{align*} \color{red} (3+1) \cdot (2+1) = 12 \end{align*}$ Teiler, also gibt es 6 Produkte (bei denen die Reihenfolge der Faktoren nicht extra gezählt wird).

$\begin{align*} 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 \end{align*}$ Teiler

Bei der Größe nach geordneten Teilern kann man von außen nach innen die Produktpaare bilden:

$\begin{align*} 1 \cdot 72 = 72 \end{align*}$
$\begin{align*} 2 \cdot 36 = 72 \end{align*}$
$\begin{align*} 3 \cdot 24 = 72 \end{align*}$
$\begin{align*} 4 \cdot 18 = 72 \end{align*}$
$\begin{align*} 6 \cdot 12 = 72 \end{align*}$
$\begin{align*} 8 \cdot 9 = 72 \end{align*}$

01.05.2020, 17:44

Sandy2020

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Danke, jetzt habe ich es verstanden!

Sandy

01.05.2020, 17:56

Leopold

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Bei Quadratzahlen aber ein wenig aufpassen.

01.05.2020, 18:41

HAL 9000

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Man bekommt alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-325)\cdot (y-325) = m \end{eqnarray*}$ , indem $\begin{eqnarray*} x-325 = t \end{eqnarray*}$ alle Teiler von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ durchwandert, es ist dann entsprechend $\begin{eqnarray*} y-325=\frac{m}{t} \end{eqnarray*}$ der Komplementärteiler.

Nun gibt es genau $\begin{eqnarray*} 2d(m) \end{eqnarray*}$ solche Teiler (dabei meine ich mit $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Teileranzahlfunkion), da man zunächst auch die negativen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berücksichtigen sollte. Im Fall $\begin{eqnarray*} m=5^4\cdot 13^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} d(m)=(4+1)\cdot (2+1)=15 \end{eqnarray*}$ , es gibt also 30 ganzzahlige Lösungspaare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ hier.

Nun interessierst du dich hier aber nur für die positiven Lösungspaare, also etwa nicht für $\begin{eqnarray*} (324,-105300) \end{eqnarray*}$ . Daher fällt bei $\begin{eqnarray*} m=325^2 \end{eqnarray*}$ die Hälfte der ganzzahligen Lösungen hier weg (nämlich die mit $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ , weil für die entweder $\begin{eqnarray*} t+325\leq 0 \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} \frac{325^2}{t}+325\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt).

Von den 15 Lösungspaaren gibt es zum einen $\begin{eqnarray*} (650,650) \end{eqnarray*}$ , während sich die anderen 14 der Symmetrie wegen aufteilen lassen zu 7 Doppel-Paaren $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<x<y \end{eqnarray*}$ , und die hattest du oben ja schon gefunden.

01.05.2020, 20:41

Sandy2020

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Ich danke auch dir HAL9000 nochmals!

Sandy

02.05.2020, 09:16

Gast325

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Hallo HAL9000,

ich habe eben versucht die Lösung von dir nachzuvollziehen.

Kannst du mir bitte in deinem ersten Posting bei der Umstellung der Ausgangsgleichung zwischen der 3. und 4. Zeile noch einen weiteren Zwischenschritt nennen?

Ich weiß nicht wie man auf

(x−325)&#8901 traurig

traurig

y−325)=5^4 * 13^2

kommt.

Vielen Dank

Jörg.

02.05.2020, 10:17

Leopold

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Ich vermute, es geht um dieses hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} xy - 325(x+y) + 325^2 = 325^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-325)\cdot (y-325) = 5^4\cdot 13^2 \end{eqnarray*}$

Rechne einfach rückwärts, von der letzten Zeile auf die vorletzte durch Ausmultiplizieren.

02.05.2020, 10:21

Gast325

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Hallo Leopold,

ja genau darum geht es!

Leider kann ich diesen Schritt nicht nachvollziehen.
Kannst du mir diesen bitte erklären?

Danke Jörg!

02.05.2020, 10:23

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Rechne einfach rückwärts, von der letzten Zeile auf die vorletzte durch Ausmultiplizieren.

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