Elemente Faktorgruppe endliche Ordnung

01.05.2020, 15:12	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente Faktorgruppe endliche Ordnung a) Zeigen Sie, dass die Elemente der Faktorgruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Q/\mathbb Z \end{eqnarray}$ endliche Ordnung besitzen. b) Bestimmen Sie alle Elemente endlicher Ordnung in den Faktorgruppen $\begin{eqnarray} \mathbb R/\mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Mein Versuch zu a): Die Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb Q/\mathbb Z \end{eqnarray}$ sind doch von der Form $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\mathbb Z \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun ein beliebiges Element $\begin{eqnarray} x=\frac{a}{b}+\mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ -mal addiere, dann bekomme ich $\begin{eqnarray} b \cdot x=a + \mathbb Z=\mathbb Z \end{eqnarray}$ , also hat $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ endliche Ordnung. Ist dieser Beweis so richtig (und auch mathematisch sauber genug aufgeschrieben)? Zu b): Ich denke, dass hier wieder jeweils die Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ die Lösung sind. Die haben ja offensichtlich wieder endliche Ordnung. Bei irrationalen Zahlen kann es ja nicht funktionieren, denn für eine irrationale Zahl $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ kann es ja kein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} n \cdot y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Reicht das als Beweis, oder gibt es hier doch noch etwas, das ich übersehe?
01.05.2020, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) In diesem Fall würde ich die rationalen Zahlen o.B.d.A. als Brüche mit positivem Nenner definieren, sonst könnte hier eine negative Zahl als Elementordnung auftreten, und das ist nicht erwünscht. b) Das ist m.E. richtig. Ein kleiner Beweis für die Behauptung $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N,r\in \mathbb R,nr\in \mathbb Q\Rightarrow r\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ wäre nett. Ja, es ist trivial, aber nett wäre es trotzdem. Zusätzlich ist es nicht sonderlich schwierig die Ordnung des Elements $\begin{eqnarray} r+\mathbb Q \in \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray}$ anzugeben für den Fall, dass sie endlich ist. Das macht man einfach um zu zeigen, dass man die Lösung kennt und sie auch verstanden hat.
01.05.2020, 18:44	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Tipps! Zu b): Wenn $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N,r\in \mathbb R,nr\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} nr=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} r=\frac{a}{bn} \end{eqnarray}$ . Da auch $\begin{eqnarray} bn \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , folgt $\begin{eqnarray} r \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Das Element $\begin{eqnarray} r+\mathbb Q \in \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray}$ hat denke ich Ordnung 1, wenn es endliche Ordnung hat, weil in diesem Fall ja $\begin{eqnarray} r \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} r+\mathbb Q=\mathbb Q \end{eqnarray}$ gilt.
01.05.2020, 18:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man nicht mehr besser machen; mir scheint, du bist auf dem richtigen Weg.
01.05.2020, 22:34	Phasma	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hoffe ich natürlich und das freut mich, dass du das so siehst. Diese Aufgabe kam mir allerdings im Vergleich zu den bisherigen ziemlich leicht vor.
01.05.2020, 23:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Leicht und schwer liegt immer daran, ob man das wesentliche verstanden hat oder nicht. Faktormengen und Quotientenstrukturen $\begin{eqnarray} X/Y=\{x+Y\|x\in X\} \end{eqnarray}$ hast du verstanden, deswegen ist die Aufgabe für dich leicht. Für sehr viele Menschen ist sie schwer, weil sie nicht verstehen, worum es geht.
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