Warum ist jedes Element einer Gruppe genau einer Nebenklasse bzgl. des Kerns

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist jedes Element einer Gruppe genau einer Nebenklasse bzgl. des Kerns
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aussage:
"Als Fasern des Homomorphismus sind die Nebenklassen von ker() gleichzeitig Äquivalenzklassen. Daher ermöglichen sie eine Partition von (die Gruppe ist gemeint). Jedes Element von gehört genau einer Nebenklasse an."
Daraus wird dann geschlossen, dass es irrelevant ist, ob mit den Nebenklassen oder den Elementen ausgeht.
Aber warum gehört jedes Element genau einer Nebenklasse an. Im Allgemeinen ist das ja nicht so?

Ich habe ein wenig nachgedacht und bin so weit gekommen:
, d.h., dass
. Das ist, weil die Äquivalenzklassen disjunkt sind: .
Jetzt hab' ich im Gefühl, dass die Gleichmächtigkeit der Nebenklassen und die Tatsache, dass sich als Summe der Äquivalenzrelationen schreiben lässt, impliziert, dass jede Äquivalenzklasse genau ein Element hat, aber mein Gefühl ist eben noch kein Beweis.
Kann mir jemand helfen?

- Tangentialvektor

Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M zerlegt M in disjunkte Klassen. Die Nebenklassen sind alle gleichmächtig zum Kern, der ist nur bei Isomorphismen einelementig.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Leider ist hier von von einem allgemeinen Homomorphismus die Rede.
Aber eigentlich ist doch der Kern schon bei injektiven Homomorphismen einelementig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den injektiven Homomorphismus identifiziere ich mit dem Isomorphismus
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man darf den Gruppenhomomorphismus als surjektiv annehmen (sonst auf das Bild von verkleinern). Das neutrale Element von habe ich mit bezeichnet.

Den Elementen von entsprechen eineindeutig die Nebenklassen des Kerns von . Falls die Multiplikation eines Elementes der grünen Nebenklasse mit einem Element der roten Nebenklasse ein Element der gelben Nebenklasse ergibt, dann gilt diese Beziehung via auch für die entsprechenden Elemente von .

Wenn bijektiv ist, schrumpfen die Nebenklassen auf ein einziges Element zusammen, der Homomorphismus wird zu einem Isomorphismus.

[attach]51136[/attach]
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob es dich interessiert, aber ich hab' es herausgefunden smile Hoffe ich:
Jedes Element von soll genau einer Nebenklasse angehören. Nach einem Lemma gilt:
, worüber dann die Nebenklassen definiert werden. Sei nun die Menge der Linksnebenklassen. Dass jede Nebenklasse genau ein Element enthält ist äquivalenz dazu, zu sagen, dass folgende Abbildung bijektiv ist:
.
Injektiv:
Nehmen wir zwei Elemente aus G und nehmen an deren Bilder wären gleich:
mit der Kürzungsregel: .
Surjektiv:
Das Bild zu einem ist ja . Das kommt ja in dem Produkt vor.

War das soweit verständlich? Kann man das nachvollziehen? Ich bin bei beweisen eigentlich eher unsicher, weshalb ich frage. Eine Korrektur würde mir echt helfen.

~ Tangentialvektor
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist etwas verdreht. Diese Abbildung ist immer ein Isomorphismus, das sagt der Homomorphiesatz. Das heißt nicht, dass jede Nebenklasse nur ein Element enthält. Die Kürzungsregel, die du verwendest, gibt es nicht.

Betrachte den Homomorphismus Z auf Z/2Z, der jeder ganzen Zahl den Rest bei der Division durch 2 zuordnet. Die Klassen sind die geraden Zahlen 2Z und die ungeraden ganzen Zahlen 1+2Z, die enthalten nicht je eines sondern unendlich viele Elemente.

In diesem Beispiel ist 0+2Z=2+2Z die Klasse der geraden ganzen Zahlen. Wenn deine Kürzungsregel gültig wäre, dann wäre 0=2, das ist falsch.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, euch! Ich werde wohl noch ein bisschen Nachdenken müssen, aber das ist wohl der Preis des Lernens Augenzwinkern
Aber tatsächlich war meine Frage zu einem Auftakt zum Homomorphiesatz, weshalb ich den noch nicht kannte. Damit hat sich meine Frage, bzw. der Thread hier erledigt.

Danke,
Tangentialvektor
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Denke an den Homomorphiesatz für Vektorräume, den lernt man im 1. Semester lineare Algebra. Alle anderen Homomorphiesätze funktionieren ganz genau so. Das ist ein enorm starkes Instrument zur Untersuchung algebraischer Strukturen, ebenso seine Folgerungen, die Isomorphiesätze.
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